![x^3+3x+2\sqrt[3]{x-4} -34=0](/tpl/images/1360/1028/6c477.png)
Запишем уравнение в виде:
![x^3+3x -34=-2\sqrt[3]{x-4}](/tpl/images/1360/1028/bd4bd.png)
Пусть левая и правая часть равны у. Тогда получим систему:
![\begin{cases} y=x^3+3x -34\\y=-2\sqrt[3]{x-4}\end{cases}](/tpl/images/1360/1028/c1e6e.png)
Рассмотрим каждое уравнение как функцию.
- возрастающая функция, так как это кубическая парабола с положительным старшим коэффициентом
![y=-2\sqrt[3]{x-4}](/tpl/images/1360/1028/0df79.png)
- убывающая функция, так как корень нечетной степени имеет сомножителем отрицательное число
Графически возрастающая и убывающая функция могут пересекаться не более чем в одной точке.
В данном случае, понимая, что и область определения и область значений каждой функции представляют собой все действительные числа можно сказать, что такое пересечение обязательно произойдет.
Таким образом, если найден некоторый корень этого уравнения, то других корней у уравнения нет.
Подберем корень. Удобно начать проверку с "красивых значений". Например, будем выбирать х так, чтобы под знаком корня получался куб некоторого целого числа.
Пусть ![\sqrt[3]{x-4} =\sqrt[3]{0}](/tpl/images/1360/1028/d91f8.png)
, то есть 
. Проверим, является ли это число корнем:
![4^3+3\cdot4+2\sqrt[3]{4-4} -34=64+12+2\cdot0-34=42\neq 0](/tpl/images/1360/1028/6e40b.png)
- не корень
Пусть ![\sqrt[3]{x-4} =\sqrt[3]{1}](/tpl/images/1360/1028/7bd4a.png)
, то есть 
. Проверим, является ли это число корнем:
![5^3+3\cdot5+2\sqrt[3]{5-4} -34=125+15+2\cdot1-34=108\neq 0](/tpl/images/1360/1028/f1f89.png)
- не корень
Пусть ![\sqrt[3]{x-4} =\sqrt[3]{-1}](/tpl/images/1360/1028/4572f.png)
, то есть 
. Проверим, является ли это число корнем:
![3^3+3\cdot3+2\sqrt[3]{3-4} -34=27+9+2\cdot(-1)-34=0](/tpl/images/1360/1028/fd423.png)
- корень
Таким образом, уравнение имеет единственный корень
ответ: 3
2^3=1!+1!+3!, 2^2=1!+1!+2!, 2^5=2!+3!+4!, 2^7=2!+3!+5!
Объяснение:
Заметим, что:
1) т.к. n - натуральное, то 2^n четно
2) x! четно для любого натурального x, большего 1 (и правда, ведь в разложении на простые множители будет присутствовать по крайней мере одна 2), а 1!=1 - нечетно
3) Сумма 3 слагаемых a!, b! и c! равна четному числу тогда, и только тогда, когда одно из слагаемых четно, а четности двух других совпадают.
Тогда возможны 2 случая:
1. Два нечетных слагаемых и одно четное. Тогда нечетные слагаемые равны 1! Пусть, без ограничения общности, a=b=1, c>1. Тогда
2^n=2+c! [оценка: 2^n>=2+1=3>2 => n>1]
2(2^(n-1)-1)=c!
Если c>=4, то 2(2^(n-1)-1) делится на (2*4) => (2^(n-1)-1) делится на 4. Но 2^(n-1) для n>1 дает остатки 2 или 0 при делении на 4 => (2^(n-1)-1) дает остатки 1 или 3 при делении на 4, но не 0. Противоречие. А значит с<4.
с=3: 2^(n-1)-1=3 => 2^(n-1)=4 => n-1=2 => n=3
c=2: 2^(n-1)-1=1 => 2^(n-1)=2 => n-1=1 => n=2
2. Все слагаемые четны. Тогда a,b,c>1.
Пусть, без ограничения общности, a<=b<=c. Тогда c! и b! делятся на a!. А тогда и сумма a!+b!+c! делится на a!. Значит и 2^n делится на a!.
Если a>2, то a! делится на 3 => 2^n делится на 3 - противоречие.
Значит a=2.
2^n=2+b!+c!, 2<=b<=c [оценка: 2^n>=2+2+2=6>4 => n>2]
Если b>=4, то c>=4. При этом b! и c! кратны (2*4). Тогда 2^n-2=2(2^(n-1)-1) кратно 2*4 => (2^(n-1)-1) кратно 4. По доказанному выше, это невозможно.
Значит b<4.
b=2: 2^n=4+c!, c>=2
4(2^(n-2)-1)=c! , т.е. с! кратно 4. А значит с>=4. Но тогда 4(2^(n-2)-1) кратно (2*4) => (2^(n-2)-1) кратно 2, т.е. нечетное число (т.к. n>2) кратно 2 - противоречие.
b=3: 2^n=8+c!, c>=3 [оценка: 2^n>=8+6=14>8 => n>3]
8(2^(n-3)-1)=c! , т.е. с! кратно 8. А значит с>=4.
c=4: 8(2^(n-3)-1)=8*3 => 2^(n-3)-1=3 => n-3=2 => n=5
c=5: 8(2^(n-3)-1)=8*15 => 2^(n-3)-1=15 => n-3=4 => n=7
Если c>=6, то с! делится на 2*4*2=8*2. Тогда 8(2^(n-3)-1) делится на 8*2 => (2^(n-3)-1) делится на 2, т.е. нечетное число (т.к. n>3) кратно 2 - противоречие.
