Question

При каких значениях параметра a уравнение $ax^{2} -2(a+1)x-5a=0$ имеет, по крайней мере, одно положительное решение

Answer 1

Проверим $a=0$:  имеем уравнение $-2x=0\Rightarrow x=0$ - очевидно, не положительное решение, поэтому данное значение параметра не пойдет в ответ.

При $a\neq 0$ уравнение - квадратное вида $ax^2+bx+c=0$ . Коэффициенты: $a=a$ (внезапно), $b=-2(a+1)$, $c=-5a$. Уравнение должно иметь корни по условию, т.е. его дискриминант как минимум не должен быть меньше 0.

Ищем дискриминант:

$D=b^2-4ac=(-2(a+1))^2-4a\cdot(-5a)=4(a+1)^2+20a^2=4(a^2+2a+1)+20a^2=24a^2+8a+4.$

Найдем дискриминант трехчлена $24a^2+8a+4$ : $D=8^2-4\cdot4\cdot24$

Это значит что при любых $a$ выражение $24a^2+8a+4$$0$, т.е. исходное уравнение всегда имеет 2 корня.

Могут быть три ситуации: 1) оба корня отрицательные; 2) корни имеют разные знаки; 3) оба корня положительные. Условию (нужно как минимум одно положительное решение) удовлетворяют только 2 и 3.

Проверим второй случай. Если корни имеют разные знаки, то достаточно условия $x_1\cdot x_2$. По теореме Виета $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.$ Так как в нашем случае $c=-5a, a=a$, то $x_1\cdot x_2=-\frac{5a}{a}=-5$ при любых $a$. Т.е. при любых значениях параметра (кроме $a=0$) корни имеют разные знаки. Т.е. 3 случай уже можно не рассматривать, так как оба корня не могут быть положительными.

Значит, нас устраивают любые $a$, кроме $a=0$.

ОТВЕТ: при $a\neq 0$.