Question

7 гномов очень волнуются за Белоснежку и не пускают её гулять по лесу в одиночестве или в сопровождении только одного гнома, а Белоснежка не хочет огорчать гномов. Сколько существует для Белоснежки: б) выбрать любую подходящую для прогулки компанию гномов? и вторая задача Алфавит цивилизации Набла состоит из пяти букв: а, б, с, в и г. Словом в языке цивилизации Набла может быть любая комбинация из букв их алфавита. б) сколько слов в языке Набла состоит не более чем из четырёх букв и содержит букву г?

Answer 1

1. Белоснежка из семи гномов может выбрать любых двух, любых трех, любых четверых, любых пятерых, любых шестерых или всех семерых. Двух гномов можно выбрать $C_7^2$ трех - $C_7^3$ и так далее до всех семи гномов, которых можно выбрать $C_7^7=1$

Тогда общее число можно рассчитать непосредственно как сумму:

$C_7^2+C_7^3+C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7=C_7^2+C_7^3+C_7^3+C_7^2+C_7^1+C_7^0=$

$=C_7^0+C_7^1+2C_7^2+2C_7^3=1+7+2\cdot\dfrac{7\cdot6}{1\cdot2} +2\cdot\dfrac{7\cdot6\cdot5}{1\cdot2\cdot3}=120$

Можно было воспользоваться интересным свойством для чисел сочетания:

$C_7^2+C_7^3+C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7=$

$=\left(C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3+C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7\right)-C_7^0-C_7^1=$

$=2^7-C_7^0-C_7^1=128-1-7=120$

ответ: 120

2. Рассмотрим ситуацию для слов длины $k$. Всего слов длины $k$ можно составить $5^k$ штук (или обозначая через размещения с повторениями $\overline{A_5^k}$). Слов длины $k$, не содержащих букву "г", можно составить $4^k$ штук. Таким образом, слов длины $k$, содержащих букву "г" можно составить $\left(5^k-4^k\right)$ штук.

Так как нас интересуют слова, с длиной не более 4 (то есть с длинами 1, 2, 3, 4), то необходимо вычислить следующую сумму:

$\left(5^1-4^1\right)+\left(5^2-4^2\right)+\left(5^3-4^3\right)+\left(5^4-4^4\right)=$

$=(5-4)+(25-16)+(125-64)+(625-256)=1+9+61+369=440$

ответ: 440