Question

Решите..........................................

Answer 1

ответ (6;5)

Для решение уравнения предлагаю следующий

Answer 2

$(6;\;5)$

Объяснение:

$x^3-y^3=xy+61\\(x-y)(x^2+xy+y^2)-xy-61=0$

Введем целый коэффициент n такой, что $y=x-n$.

Выполним подстановку:

$n(x^2+x(x-n)+(x-n)^2)-x(x-n)-61=0$

Упростим выражение:

$(3n-1)x^2-n(3n-1)x-(61-n^3)=0$

Решим уравнение относительно x:

$D=n^2(3n-1)^2+4(61-n^3)(3n-1)=(1-3n)(n^3+n^2-244)$

Тогда корни равны:

$x_{1,2}=\dfrac{(3n-1)n\pm\sqrt{(1-3n)(n^3+n^2-244)}}{2(3n-1)}$

Очевидно, что уравнение имеет корни только, если

$(1-3n)(n^3+n^2-244)\ge 0$

Найдем все такие целые n, при котором неравенство выполняется.

Решать будем так:

Заметим, что $n^3+n^2-244=0$ не имеет целых корней. Однако он больше 0, если $n\ge6$ и меньше 0, если $n\le 5$ (так как решаем в целых числах нам этого достаточно).

Если $n^3+n^2-2440$, то для того, чтобы неравенство выполнялось, $1-3n\ge 0$, значит $n\le\dfrac{1}{3}$, а так как решаем в целых числах, то можно написать $n\le 0,\;n\in Z$. Найдем пересечение с $n\ge 6,\;n\in Z$ и сделаем вывод, что такой случай невозможен.

Если $n^3+n-244$, то $1-3n\le0$, а значит $n\ge\dfrac{1}{3}$, т.е. в нашем случае $n\ge 1,\;n\in Z$. Найдем пересечение и сделаем вывод, что $1\le n\le 5, n\in Z$.

Для каждого n найдем x и проверим будет ли он натуральным числом:

При n=1:

$x_{1,2}=\dfrac{2\pm\sqrt{(1-3)(1^3+1^2-244)}}{2(3-1)}\\x_1=6\\x_2=-5$

Здесь подходит только $x_1=6$.

При этом x $y=6-1=5$.

Получили пару чисел $(6;\;5)$.

При n=2:

$x_{1,2}=\dfrac{(3\times2-1)\times2\pm\sqrt{(1-3\times2)(2^3+2^2-244)}}{2(3\times2-1)}\\x_{1,2}=\dfrac{5\pm\sqrt{290}}{5}$

Ни один x не подходит.

При всех остальных n ни один x также не подходит.

Поэтому ответом будет являться $(6;\;5)$.

Задание выполнено!