Question

Сумма корней уравнений $16^{x}$-(lg²5+lg²2)×$4^{x}$=$4^{x+3}$-16 равна 1)65-lg2×lg5 2)4 3)корней нет 4)3 5)2 P.S. объясните решение

Answer 1

5) 2

Объяснение:

$(4^x)^2-(\lg^25+\lg^22+4^3)*4^x+16=0\\ (\lg^25+\lg^22+4^3)^2-4*16(0+0+4^3)^2-4*16=4^6-4^30\\ 4^x=\dfrac{(\lg^25+\lg^22+4^3)\pm\sqrt{(\lg^25+\lg^22+4^3)^2-4*16}}{2}\\$

Т.к. показательная функция строго монотонна, а в правой части в каждом из двух случаев константы, то в каждом случае будет существовать не более одного корня, причем корень будет существовать лишь тогда, когда константа положительна.

$\left[1\right]4^x=\dfrac{(\lg^25+\lg^22+4^3)+\sqrt{(\lg^25+\lg^22+4^3)^2-4*16}}{2}\\ \dfrac{(\lg^25+\lg^22+4^3)+\sqrt{(\lg^25+\lg^22+4^3)^2-4*16}}{2}0=\\ \exists x_1=\log_4(\dfrac{(\lg^25+\lg^22+4^3)+\sqrt{(\lg^25+\lg^22+4^3)^2-4*16}}{2})$  

$\left[2\right]4^x=\dfrac{(\lg^25+\lg^22+4^3)-\sqrt{(\lg^25+\lg^22+4^3)^2-4*16}}{2}\\ \dfrac{(\lg^25+\lg^22+4^3)-\sqrt{(\lg^25+\lg^22+4^3)^2-4*16}}{2}\\ \dfrac{(\lg^25+\lg^22+4^3)-\sqrt{(\lg^25+\lg^22+4^3)^2}}{2}=\\ =\dfrac{(\lg^25+\lg^22+4^3)-|(\lg^25+\lg^22+4^3)|}{2}=0=\\ \exists x_2=\log_4(\dfrac{(\lg^25+\lg^22+4^3)-\sqrt{(\lg^25+\lg^22+4^3)^2-4*16}}{2})$

$x_1+x_2=\log_4(\dfrac{(\lg^25+\lg^22+4^3)+\sqrt{(\lg^25+\lg^22+4^3)^2-4*16}}{2})+\\ \log_4(\dfrac{(\lg^25+\lg^22+4^3)-\sqrt{(\lg^25+\lg^22+4^3)^2-4*16}}{2})=\\ \log_4((\frac{(\lg^25+\lg^22+4^3)+\sqrt{(\lg^25+\lg^22+4^3)^2-4*16}}{2})(\frac{(\lg^25+\lg^22+4^3)-\sqrt{(\lg^25+\lg^22+4^3)^2-4*16}}{2}))=\\ \log_4\dfrac{(\lg^25+\lg^22+4^3)^2-((\lg^25+\lg^22+4^3)^2-4*16)}{4}=\log_4 \dfrac{4*16}{4}=\log_4 16=\log_4 4^2=2$