Question

Решить задание из прикрепленного файла.

Answer 1

$3n\pi,\;n\in Z;\;-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{3n\pi}{2},\;n\in Z;\;\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{3n\pi}{2},\;n\in Z$

Объяснение:

$cos^2\dfrac{2x}{3}=\dfrac{1+cos^2x}{2}\\cos^2\dfrac{2x}{3}=\dfrac{1+\dfrac{1+cos2x}{2}}{2}\\cos^2\dfrac{2x}{3}=\dfrac{3+cos2x}{4}\\4cos^2\dfrac{2x}{3}-3=cos2x$

Теперь заметим один интересный факт:

$cos2x=cos\left(3\times\dfrac{2x}{3}\right)$

Значит можно применить формулу косинуса тройного угла.

Напомню, что $cos3\alpha=4cos^3\alpha-3cos\alpha$.

Тогда:

$cos2x=4cos^3\dfrac{2x}{3}-3cos\dfrac{2x}{3}$.

Теперь подставим полученное в наше решение:

$4cos^2\dfrac{2x}{3}-3=4cos^3\dfrac{2x}{3}-3cos\dfrac{2x}{3}\\4cos^3\dfrac{2x}{3}-4cos^2\dfrac{2x}{3}-3cos\dfrac{2x}{3}+3=0$

Замена: $cos\dfrac{2x}{3}=t,\;-1\le t\le 1$.

$4t^3-4t^2-3t+3=0\\4t^2(t-1)-3(t-1)=0\\(t-1)\left(2t+\sqrt{3}\right)\left(2t-\sqrt{3}\right)=0\\t=1\\t=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\t=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Обратная замена:

$1)\\cos\dfrac{2x}{3}=1\\\dfrac{2x}{3}=2n\pi,\;n\in Z\\x=3n\pi,\;n\in Z\\\\2)\\cos\dfrac{2x}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\x=\dfrac{\pi}{4}+3n\pi.\;n\in Z\\x=-\dfrac{\pi}{4}+3n\pi.\;n\in Z\\\\3)\\cos\dfrac{2x}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\x=\dfrac{5\pi}{4}+3n\pi,\;n\in Z\\x=-\dfrac{5\pi}{4}+3n\pi.\;n\in Z$

Окончательное решение:

$x=3n\pi,\;n\in Z\\x=-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{3n\pi}{2},\;n\in Z\\x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{3n\pi}{2},\;n\in Z$

Уравнение решено!