Question

При каких значениях а уравнение 3х^2-х^3-а=0 имеет один корень?

Answer 1

$3x^{2} -x^{3} -a = 0\\3x^{2} -x^{3} = a$

Построим график функции y = 3x^2 - x^3 :

Уравнение будет иметь ровно 1 корень, если значения параметра а будет находить в синей области.

Найдем точки экстремумы функции y = 3x^2 - x^3 :

y' = 6x - 3x^2

6x-3x^2 = 0

3x(2-x) = 0

[ x = 0

[ x = 2

Подставим в функцию :

$y = 3*0^{2} -0^{3} = 0\\$

$y = 3*2^{2} -2^{3} =3*4-8 = 12 - 8 = 4$

Значит a ∈ (-∞ ; 0) U (4 ; +∞)

ответ : При a ∈ (-∞ ; 0) U (4 ; +∞)

Answer 2

$3x^{2} - x^{3} - a = 0$

$3x^{2} - x^{3} = a$

Рассмотрим две функции: $f(x) = 3x^{2} - x^{3}$ и $g(x) = a$

Изобразим на координатной плоскости график функции $f(x)$

$1) \ D(f) = (-\infty; \ +\infty)$

$2) \ f(-x) = 3(-x)^{2} - (-x)^{3} = 3x^{2} + x^{3} = -(-3x^{2} - x^{3})$

Функция $f(x)$ не обладает свойством четности.

3) Находим абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox:$

$3x^{2} - x^{3} = 0$

$x^{2}(3 - x) = 0$

$\displaystyle \left [ {{x^{2} = 0 \ \ \ \ } \atop {3 - x = 0}} \right. ~~~~~~ \left [ {{x_{1} = 0} \atop {x_{2} = 3}} \right.$

Находим ординату точки пересечения графика с осью $Oy:$

$f(0) = 3 \cdot 0^{2} - 0^{3} = 0$

4) Находим производную:

$f'(x) = (3x^{2} - x^{3})' = 6x - 3x^{2}$

Критические точки:

$6x - 3x^{2} = 0$

$3x(2 - x) = 0$

$\displaystyle \left [ {{3x = 0 \ \ \ \, } \atop {2 - x = 0}} \right. ~~~~ \left [ {{x_{1} = 0} \atop {x_{2} = 2}} \right.$

5) Составим таблицу (см. вложение).

$6) \ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (3x^{2} - x^{3}) = +\infty$

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (3x^{2} - x^{3}) = -\infty$

7) Используя результаты исследования, построим схематический график функции $f(x) = 3x^{2} - x^{3}$ (см. вложение).

Тогда уравнение $3x^{2} - x^{3} - a = 0$ будет иметь единственное решение, если графики функций $f(x)$ и $g(x)$ будут иметь единственное пересечение.

Так произойдет, если $a \in (-\infty; \ 0)$ и $a \in (4; \ +\infty)$

ответ: $a \in (-\infty; \ 0) \cup (4; \ +\infty)$