Question

Решите уравнение с решением

Answer 1

x=1

Объяснение:

рассмотрим функцию:

$f(x)=\frac{x^2}{4}+\frac{3}{4} -\sqrt[4]{2x-1}$

2x-1≥0 ⇔ x≥0.5

Её область определения: D(f)=[0.5;+∞)

Исследуем ее с производной:

$f'(x)=(\frac{x^2}{4}+\frac{3}{4} -(2x-1)^\frac{1}{4} )'=\frac{x}{2} -\frac{1}{4}*2*(2x-1)^{-\frac{3}{4} } =\frac{x}{2} -\frac{1}{2(2x-1)^{\frac{3}{4} }} = \\ \\ \frac{x(2x-1)^{\frac{3}{4} }-1}{2(2x-1)^{\frac{3}{4} }}$

Находим нули числителя:

$x(2x-1)^{\frac{3}{4} }-1=0 \\ x(2x-1)^{\frac{3}{4} }=1 \\ \\ (2x-1)^{\frac{3}{4} }=\frac{1}{x}$

Замечаем, что слева стоит возрастающая функция, справа - убывающая. Поэтому если и есть корень, то он единственный!

Не трудно догадаться, что корнем будет x=1

Теперь находим нули знаменателя:

$2(2x-1)^{\frac{3}{4} }=0 \\ 2x-1=0 \\ \\ x=0.5$

метод интервалов с учетом D(f)

(0,5)---[1]---->ₓ

С пробных точек узнаем знаки промежутков и получаем:

(0,5)---[1]+++>ₓ

На интервале (0,5;1) производная отрицательна, значит функция убывает.

На интервале (1;+∞) производная положительна, значит функция возрастает

Таким образом x=1 - точка минимума и в том числе точка наименьшего значения функции

$f(1)=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-\sqrt[4]{2*1-1}=0$

f(1)=0 - минимум и наименьшее значение функции

Таким образом мы выяснили, что f(x)≥0 при всех допустимых x, а равенство f(x)=0 достигается только в точке x=1 (в точке минимума)