М
Молодежь
К
Компьютеры-и-электроника
Д
Дом-и-сад
С
Стиль-и-уход-за-собой
П
Праздники-и-традиции
Т
Транспорт
П
Путешествия
С
Семейная-жизнь
Ф
Философия-и-религия
Б
Без категории
М
Мир-работы
Х
Хобби-и-рукоделие
И
Искусство-и-развлечения
В
Взаимоотношения
З
Здоровье
К
Кулинария-и-гостеприимство
Ф
Финансы-и-бизнес
П
Питомцы-и-животные
О
Образование
О
Образование-и-коммуникации
mrdaaly
mrdaaly
03.07.2021 12:58 •  Алгебра

Решить в целых числах x^2=2003y-1, 2^x+1=3y^2, 3x=5y^2+4y-1

👇
Ответ:
миларыбка
миларыбка
03.07.2021

1)

нет решений

2)

\left \{ {{x=1} \atop {y=+-1}} \right.

3)

y=3k-1\\x=3k(5k-2) , где k - целое число

Пошаговое объяснение:

Здравствуйте!

1)

x^2 =2003y-1\\

Очевидно, что  x\neq 0 ; y0

Заметим, что число 2003 - простое ( сначала будет считать, что x0, в силу того, что квадрат неотрицателен), а также, что x не делится на

Тогда, согласно малой теореме Ферма имеем:

x^{2002} = 2003k+1  ( дает при делении на 2003 остаток 1 )

x^2 = 2003y-1

Возведем обе части равенства в 1001 степень:

(x^2)^{1001} = (2003y-1)^{1001}\\x^{2002} = (2003y-1)^{1001}\\

Поскольку в биноме Ньютона : (2003y-1)^{1001}  каждый член, помимо члена  (-1)^{1001}, помножен на некоторую натуральную степень числа 2003, то  (2003y-1)^{1001} = 2003k +(-1)^{1001}=2003k-1  , поскольку 1001 - нечетное.

Таким образом, x^{2002} дает при делении на 2003 остаток -1 или 2002, то есть мы пришли к противоречию, а значит решений в целых числах нет.

2)

2^x +1 =3y^2

Очевидно, что x\geq 0 ,поскольку в противном случае левая часть равенства нецелое число, а правая часть равенства целое число.

Предположим, что x\geq 2 , тогда 2^x делится на 4, а значит 2^x+1 дает при делении на 4 дает остаток 1.

Левая часть равенства число нечетное, но тогда и 3y^2 - нечетное, а значит y - также нечетное.

y=2k-1 , где k  целое число

3y^2= 3(2k-1)^2 = 3(4k^2-4k+1) = 4n+3 , где n-целое число

Таким образом, 3y^2  дает при делении на 4 остаток  3 , но 2^x+1 дает при делении на 4 остаток 1, то есть мы пришли к противоречию.

Откуда: 0\leq x\leq 1

Проверим x=0

2^0+1=3y^2\\2=3y^2

Решений в целых числах нет.

Проверим x=1

2^1 +1 =3y^2\\3=3y^2\\y^2=1\\y=+-1

То есть решение уравнения :

\left \{ {{x=1} \atop {y=+-1}} \right.

3)

3x=5y^2+4y-1

Разложим квадратный трехчлен из правой части на множители:

5y^2+4y-1 = 0

D/4 = 2^2 -5*(-1) = 9 = 3^2\\y_{1,2} =\frac{-2+-3}{5}\\y_{1} =-1\\y_{2} =\frac{1}{5}\\5y^2+4y-1 = 5(y+1)(y-\frac{1}{5} ) =(y+1)(5y-1)\\3x = (y+1)(5y-1)

Поскольку, число 3 простое , то хотя бы один из членов y+1 или 5y-1 делится на 3

Необходимо заметить, что если y+1 делится 3 , то 5(y+1) =5y+5 , также делится на 3 , а значит 5y+5-6 =5y-1 делится на 3.

Обратное утверждение также верно, если 5y-1 делится на 3 , то 5y-1+6 делится на 3.

5y+5= 5(y+1) делится на 3, а поскольку

5 и 3 -взаимнопростые, то y+1 делится на  3

Таким образом , для существования целых решений необходимо и достаточно, чтобы  y+1 делилось на 3

y=3k-1 , где k - целое число.

Таким образом, данное уравнение имеет бесконечно много целых решений:

y=3k-1\\x=(y+1)(5y-1)\\x=\frac{3k(5(3k-1)-1)}{3} = k(15k-6) =3k(5k-2), где k- целое число (может быть равно 0)

Возможно, в последнем уравнении есть ошибка, ибо очень просто.

Если вам понравился ответ, сделай его лучшим!

4,6(65 оценок)
Открыть все ответы
Ответ:
Емсимася
Емсимася
03.07.2021
Не уверенна что формула верная
2n+8n+5=k^2
10n+5=k^2

Программа на Руби

for n in -10000..10000
    for k in 0..1000
        p [n,k] if 10*n + 5 == k*k
    end
end

Вывод
[2, 5]
[22, 15]
[62, 25]
[122, 35]
[202, 45]
[302, 55]
[422, 65]
[562, 75]
[722, 85]
[902, 95]
[1102, 105]
[1322, 115]
[1562, 125]
[1822, 135]
[2102, 145]
[2402, 155]
[2722, 165]
[3062, 175]
[3422, 185]
[3802, 195]
[4202, 205]
[4622, 215]
[5062, 225]
[5522, 235]
[6002, 245]
[6502, 255]
[7022, 265]
[7562, 275]
[8122, 285]
[8702, 295]
[9302, 305]
[9922, 315]

т.е. подразумевается что есть и другие решения, если расширять диапазон
4,5(9 оценок)
Ответ:
оооо140
оооо140
03.07.2021

3

Объяснение:

остання цифра добутку (степені числа) залежить лише від добутку останньої цифри кожного з множників

тому  остання цифра числа 987 в степені 987 така ж сама як і остання цифра числа 7 в степені 987

далі 7 =..7 (1 раз множник)

7*7=...9 (2 рази множник)  

7*7*7=..3 ( 3 рази множник)

7*7*7*7=..1 ( 4 рази множник)

7*7*7*7*7=..7 ( 5 раз множник), а значить остання цифра степеней 7 буде повторюватися з періодом 4

987=4*246+3

7 в степені 987=7*7*7**7*7 (987 раз)=

(7*7*7*7) (246 раз) *7*7*7=(...1)(246 раз)*...3=...1*..3=...3

значить остання цифра 3

4,5(54 оценок)
Новые ответы от MOGZ: Алгебра
logo
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси Mozg
Открыть лучший ответ