Question

РЕШИТЕ ЗАДАНИЕ НА АРИФМЕТИЧЕСКУЮ ПРОГРЕССИЮ И ТРИГОНОМЕТРИЮ ОЧЕНЬ НУЖНА

Answer 1

ответ: 1080°

Объяснение:

Здравствуйте!

Используя свойство арифметической прогрессии имеем:

$ctg(x) -1 =2sin(2x)\\\frac{cos(x)}{sin(x)} - 1 -2sin(2x) = 0\\\left \{cos(x)-sin(x)-2sin(2x)sin(x) = 0 } \atop {sin(x)\neq0 } \right.$

Используем формулу преобразования произведения в сумму:

$sin(a)sin(b) = \frac{1}{2} (cos(a-b) -cos(a+b) )\\2sin(2x)sin(x) = cos(x) -cos(3x)$

Таким образом, имеем уравнение:

$cos(x) -sin(x) -cos(x)+cos(3x) = 0\\cos(3x) -sin(x) = 0\\cos(3x) -cos(\pi/2 -x) = 0$

Используем формулу преобразования разности в произведение:

$cos(a) -cos(b) = -2sin(\frac{a+b}{2} )sin(\frac{a-b}{2} )\\cos(3x) -cos(\frac{\pi }{2} -x) = -2sin(x+ \frac{\pi }{4} )sin(2x-\frac{\pi }{4} )$

Задача принимает вид:

$\left \{ sin(x+ \frac{\pi }{4} )sin(2x-\frac{\pi }{4} )=0} \atop {x \neq\pi k}} \right.$ , $k$-целое

1)

$sin(x+\frac{\pi }{4} ) = 0\\x= -\frac{\pi }{4} +\pi n\neq\pi k$ , $n$ - целое

Отбираем корни на промежутке $x$∈ [0;2π] :

$\frac{3\pi }{4} ; \frac{7\pi }{4} \\$

2)

$sin(2x-\frac{\pi }{4} ) = 0\\2x= \frac{\pi }{4} +\pi m \neq 2\pi k \\x=\frac{\pi }{8} +\frac{\pi m }{2}$ , $m$ - целое

Отбираем корни на промежутке  $x$∈ [0;2π] :

$\frac{\pi }{8} ; \frac{5\pi }{8} ; \frac{9\pi }{8} ; \frac{13\pi }{8}$

Найдем сумму всех решений:

$\frac{\pi }{8} + \frac{5\pi }{8} + \frac{9\pi }{8} + \frac{13\pi }{8}+\frac{3\pi }{4} +\frac{7\pi }{4} = \frac{\pi }{8} (1+5+9+13+6+14) = \frac{48\pi }{8} = 6\pi$

В градусаx: 6*180° = 1080°

Если ответ понятен, ставь сердечко и лучший ответ.