Question

Построить график с решением (не просто график) и второе задание

Answer 1

1) Отрезок прямой $y=1-x$ при $-1\leq x\leq 2$ (cмотрите рисунок 1)

2) $a$∈{0,75} ∪ (3;5]

Объяснение:

$\sqrt{x^2 +y^2+2x-4y+5} +\sqrt{x^2+y^2-4x+2y+5} =3\sqrt{2} \\\sqrt{(x+1)^2 +(y-2)^2} + \sqrt{(x-2)^2 +(y+1)^2} =3\sqrt{2} \\\\$

Поскольку под радикалами суммы квадратов, то ОДЗ для подкоренных выражений писать ненужно.

Сделаем замены:

$\sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}=a\geq0 \\\sqrt{(x-2) +(y+1)^2} =b\geq0$

Тогда :

$\left \{ {{a+b=3\sqrt{2} } \atop {a^2-b^2=6(x-y)}} \right. \\\left \{ {{a+b=3\sqrt{2} } \atop {(a-b)(a+b)=6(x-y)}} \right. \\\left \{ {{a+b=3\sqrt{2} } \atop {a-b=\sqrt{2} (x-y) }} \right. \\\left \{ {{a=\frac{\sqrt{2} }{2}(3+x-y) } \atop {b=\frac{\sqrt{2} }{2}(3-x+y)}} \right.$

Но тогда, нужно записать следующие ограничения:

$\left \{ {{3+x-y\geq 0} \atop {3+y-x\geq0 }} \right. \\\left \{ {{y \leq x+3} \atop {y\geq x-3$  

Теперь можно возвести в квадрат  и домножить на 2 первое уравнение системы:

$2a^2 = (3+x-y)^2\\2(x+1)^2 +2(y-2)^2 = ( (x+1) -(y-2) )^2\\2(x+1)^2 +2(y-2)^2 = (x+1)^2 +(y-2)^2 -2*(x+1)(y-2)\\(x+1)^2 +2(x+1)(y-2) +(y-2)^2 = 0\\(x+1+y-2)^2 = 0\\x+y= 1\\y=1-x$

То есть нужно изобразить множество точек :

$\left \{ {{y=1-x} \atop {x-3\leq y\leq x+3 }} \right.$

Прямые $x+3$ и $x-3$ параллельны.

Найдем точки пересечения не параллельных прямых:

$1-x = x+3\\x_{1} = -1 ; y_{1} =2 \\1-x = x-3\\x_{2} =2 ; y_{2}=-1$

Таким образом, график это отрезок прямой $y=1-x$ с координатами концов: (-1;2) и (2;-1)  (смотрите рисунок 1)

Теперь вторая часть задания.

Найти все значения параметра a, что кривая :

$|y|=a-x^2$ имеет с полученным выше отрезком ровно одну общую точку.  Иначе говоря, уравнение $|1-x| = a-x^2$ имеет одно решение при условии:  $-1\leq x\leq 2$

График $|1-x|$ - это график $|x|$ смещенный на единицу вправо по оси x.

График $a-x^2$ - классическая парабола $-x^2$ c ветвями вниз смещенная вверх на $a$ по оси $y$ .

Графически понятно, что одно решение будет либо когда парабола касается левой ветки модуля в одной точке (1) (синяя парабола), либо когда парабола находится между красной и зеленой параболой включительно, то есть параболами пересекающими края отрезка (2).

Смотрите рисунок 2.

1. Найдем эти пограничные a:

$|1-(-1)| = 2\\a-(-1)^2 = 2\\a_{1}=3 \\|1-(2)| =1\\a-(2)^2 = 1\\a_{2} =5$

$a$∈(3;5]

2. Определим a, в случае касания параболы левой ветки модуля, то есть когда  уравнение :

$1-x = a-x^2\\x^2-x+1-a= 0$

имеет единственное решение, то есть когда $D=0$

$D=1 -4(1-a) = 0\\-3+4a=0\\a=0.75\\x=0.5$

Таким образом, 1 решение при:

$a$∈{0,75} ∪ (3;5]