Question

упростите выражение
ctg(π-a) ctg(3π/2+a) -tg(2π+a) ctg(π/2+a)

Answer 1

Добрый день! Я рад выступить в роли вашего школьного учителя и помочь с данной задачей.

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать тригонометрические свойства и формулы.

Начнем с первого члена выражения: ctg(π-a).
Мы знаем, что ctg(x) = 1/tan(x), поэтому ctg(π-a) = 1/tan(π-a).

Так как tan(x) имеет период π, то tan(π-a) = tan(-a).

Пользуясь формулой тангенса разности углов,
tan(π-a) = (tan(π) - tan(a)) / (1 + tan(π)tan(a)),
мы можем заменить tan(π) на 0, так как tan(π) равен 0,
или просто провести упрощение:
tan(π-a) = (0 - tan(a)) / (1 + 0⋅tan(a)) = -tan(a).

Таким образом, ctg(π-a) = 1/-tan(a) = -1/tan(a).

Перейдем ко второму члену выражения: ctg(3π/2+a).
Пользуясь снова формулой тангенса разности углов,
tan(3π/2+a) = (tan(3π/2) - tan(a)) / (1 + tan(3π/2)tan(a)).
Так как tan(3π/2) равен -∞, tan(3π/2+a) = (-∞ - tan(a)) / (1 + (-∞)tan(a)).
Непроизводительность ∞ на ∞ упрощается до -1, поэтому получаем:
tan(3π/2+a) = (-1 - tan(a)) / (1 + (-1)tan(a)) = -1.

Затем перейдем к третьему члену выражения: tg(2π+a).
По свойствам тангенса, tan(x + π) = -tan(x),
поэтому tg(2π + a) = -tg(a).

Наконец, рассмотрим четвертый член выражения: ctg(π/2+a).
Используя снова свойства тангенса, tan(x + π/2) = -1/tan(x),
получаем ctg(π/2+a) = -1/tg(a).

Объединяя полученные результаты, получаем:
ctg(π-a) ctg(3π/2+a) -tg(2π+a) ctg(π/2+a) = (-1/tan(a))⋅(-1) - (-tg(a))⋅(-1/tan(a)).
Упрощая это выражение, мы получим:
1 - (tg(a)/tan(a)) = 1 - tg(a)⋅ctg(a).

Таким образом, итоговое упрощенное выражение равно 1 - tg(a)⋅ctg(a).

Надеюсь, ответ был понятен и помог вам понять процесс упрощения данного выражения. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!