Question

86 ! решите: \begin{align} \cos(nx) & = \mathrm{re} \{\ e^{inx}\ \} = \mathrm{re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\ & = \mathrm{re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix})\ \} \\ & = \mathrm{re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace{(e^{ix} + e^{-ix})}_{2\cos(x)} - e^{i(n-2)x}\ \} \\ & = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x]. \end{align}

Answer 1

Здравствуй, я рад быть твоим учителем и помочь разобраться с этим вопросом о косинусах. Давай решим его шаг за шагом.

Мы начинаем с данного выражения:
\[
\cos(nx) = \mathrm{re} \left\{\ e^{inx}\ \right\} = \mathrm{re} \left\{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \right\}.
\]
Первое, что мы сделаем, это заменим выражение \(\mathrm{re} \left\{\ e^{ix} + e^{-ix} \right\}\) на \(2\cos(x)\), так как это равенство всегда выполняется.
\[
\cos(nx) = \mathrm{re} \left\{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix})\ \right\}.
\]
Теперь раскроем скобки:
\begin{align*}
\cos(nx) &= \mathrm{re} \left\{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix})\ \right\} \\
&= \mathrm{re} \left\{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix} + e^{-ix})\ \right\} - \mathrm{re} \left\{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{-ix}\ \right\} \\
&= \cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x) - \cos[(n-2)x].
\end{align*}

Таким образом, мы получаем окончательный ответ:
\[
\cos(nx) = \cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x) - \cos[(n-2)x].
\]

Мы использовали свойства экспоненты \(e^{ix}\) и косинуса \(\cos(nx)\), чтобы привести выражение к более простому виду. Также мы воспользовались равенством \(\mathrm{re} \left\{\ e^{ix} + e^{-ix} \right\} = 2\cos(x)\), которое доказывается с помощью формулы Эйлера \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\).

Надеюсь, это помогло тебе понять решение этого выражения. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать!