1. Для того чтобы функция убывала на заданном отрезке, ее производная должна быть отрицательной на этом отрезке.
2. Для начала, найдем производную функции y=5x^3−15x. Для этого используем правило дифференцирования для степенной функции:
f'(x) = nx^(n-1), где n - степень, а производная обозначается f'(x).
Применяя это правило к функции y=5x^3−15x, получим:
y' = 3*5x^(3-1) - 15 = 15x^2 - 15.
3. Теперь, нам необходимо найти значения параметра b, при которых функция убывает на отрезке [b+9, b+11].
Для этого подставим границы отрезка в выражение для производной y':
y'(b+9) и y'(b+11) и проверим, будут ли они отрицательными.
4. Подставляем b+9 вместо x в выражение для производной:
y'(b+9) = 15(b+9)^2 - 15.
(b+10)(b+8) < 0 для неравенства №1.
(b+10)(b+12) < 0 для неравенства №2.
11. Находим значения параметра b, при которых выполняются данные неравенства:
Для неравенства №1: (b+10)(b+8) < 0.
Из этого неравенства мы видим, что если (b+10) и (b+8) имеют разные знаки, то произведение будет отрицательным.
То есть b+10 < 0 и b+8 > 0 (или наоборот), тогда -10 > b > -8.
Ответ для неравенства №1: -10 > b > -8.
Для неравенства №2: (b+10)(b+12) < 0.
Из этого неравенства мы видим, что если (b+10) и (b+12) имеют разные знаки, то произведение будет отрицательным.
То есть b+10 < 0 и b+12 > 0 (или наоборот), тогда -12 > b > -10.
Ответ для неравенства №2: -12 > b > -10.
12. Объединяем ответы из двух неравенств:
Исходная функция убывает на отрезке [b+9, b+11], только когда выполняются оба полученных интервала: -12 > b > -10 и -10 > b > -8.
Таким образом, значения b на которых функция убывает на заданном отрезке равны: -12 > b > -10 или -10 > b > -8.
Это подробное решение поможет школьнику понять, как найти интервалы, при которых функция убывает на заданном отрезке [b+9, b+11].
![При каких значениях параметра b функция y=5x3−15x убывает на отрезке [b+9;b+11]?](/tpl/images/3795/6872/b8243.jpg)
1. Для того чтобы функция убывала на заданном отрезке, ее производная должна быть отрицательной на этом отрезке.
2. Для начала, найдем производную функции y=5x^3−15x. Для этого используем правило дифференцирования для степенной функции:
f'(x) = nx^(n-1), где n - степень, а производная обозначается f'(x).
Применяя это правило к функции y=5x^3−15x, получим:
y' = 3*5x^(3-1) - 15 = 15x^2 - 15.
3. Теперь, нам необходимо найти значения параметра b, при которых функция убывает на отрезке [b+9, b+11].
Для этого подставим границы отрезка в выражение для производной y':
y'(b+9) и y'(b+11) и проверим, будут ли они отрицательными.
4. Подставляем b+9 вместо x в выражение для производной:
y'(b+9) = 15(b+9)^2 - 15.
5. Раскрываем квадрат:
y'(b+9) = 15(b^2 + 18b + 81) - 15.
y'(b+9) = 15b^2 + 270b + 1215 - 15.
y'(b+9) = 15b^2 + 270b + 1200.
6. Теперь заменяем b+11 вместо x в выражение для производной:
y'(b+11) = 15(b+11)^2 - 15.
7. Раскрываем квадрат:
y'(b+11) = 15(b^2 + 22b + 121) - 15.
y'(b+11) = 15b^2 + 330b + 1815 - 15.
y'(b+11) = 15b^2 + 330b + 1800.
8. Теперь нам нужно проверить, когда оба значения y'(b+9) и y'(b+11) будут отрицательными.
15b^2 + 270b + 1200 < 0.
15b^2 + 330b + 1800 < 0.
Составим систему неравенств:
15b^2 + 270b + 1200 < 0
15b^2 + 330b + 1800 < 0.
9. Решаем систему неравенств.
Для решения системы неравенств, мы можем использовать графический метод или метод факторизации. Давайте воспользуемся методом факторизации.
Разделим оба неравенства на 15:
b^2 + 18b + 80 < 0
b^2 + 22b + 120 < 0
Теперь факторизуем каждое неравенство:
b^2 + 18b + 80 = (b+10)(b+8) < 0
b^2 + 22b + 120 = (b+10)(b+12) < 0
10. Теперь анализируем знаки факторов:
(b+10)(b+8) < 0 для неравенства №1.
(b+10)(b+12) < 0 для неравенства №2.
11. Находим значения параметра b, при которых выполняются данные неравенства:
Для неравенства №1: (b+10)(b+8) < 0.
Из этого неравенства мы видим, что если (b+10) и (b+8) имеют разные знаки, то произведение будет отрицательным.
То есть b+10 < 0 и b+8 > 0 (или наоборот), тогда -10 > b > -8.
Ответ для неравенства №1: -10 > b > -8.
Для неравенства №2: (b+10)(b+12) < 0.
Из этого неравенства мы видим, что если (b+10) и (b+12) имеют разные знаки, то произведение будет отрицательным.
То есть b+10 < 0 и b+12 > 0 (или наоборот), тогда -12 > b > -10.
Ответ для неравенства №2: -12 > b > -10.
12. Объединяем ответы из двух неравенств:
Исходная функция убывает на отрезке [b+9, b+11], только когда выполняются оба полученных интервала: -12 > b > -10 и -10 > b > -8.
Таким образом, значения b на которых функция убывает на заданном отрезке равны: -12 > b > -10 или -10 > b > -8.
Это подробное решение поможет школьнику понять, как найти интервалы, при которых функция убывает на заданном отрезке [b+9, b+11].