Question

При каком значении параметра р вектор q−−={1;−4;p} является линейной комбинацией векторов m−={−1;1;−3} и n−={6;−5;1} ?

Answer 1

Чтобы определить, является ли вектор q линейной комбинацией векторов m и n, мы можем записать соответствующую систему уравнений и проверить, есть ли решения для этой системы.

Пусть вектор q = {1; -4; p} и векторы m и n даны как m = {-1; 1; -3} и n = {6; -5; 1} соответственно.

Мы можем записать систему уравнений в следующем виде:

{-1x + 6y = 1
1x - 5y = -4
-3x + 1y = p}

Эту систему можно решить методом определителей, используя правило Крамера.

Сначала мы выразим переменные x и y через определители исходной системы уравнений.

Определитель D будет равен определителю матрицы коэффициентов системы:

D = | -1 6 |
| 1 -5 |

D = (-1 * -5) - (6 * 1) = -5 + 6 = 1

Определитель Dx будет равен определителю матрицы, в которой заменен столбец коэффициентов x столбцом значений:

Dx = | 1 6 |
|-4 -5 |

Dx = (1 * -5) - (6 * -4) = -5 + 24 = 19

Определитель Dy будет равен определителю матрицы, в которой заменен столбец коэффициентов y столбцом значений:

Dy = |-1 1 |
| 1 -4 |

Dy = (-1 * -4) - (1 * 1) = 4 - 1 = 3

Теперь мы можем рассчитать значения x и y, используя найденные определители:

x = Dx / D = 19 / 1 = 19
y = Dy / D = 3 / 1 = 3

Итак, значения переменных x и y равны соответственно 19 и 3.

Теперь, чтобы проверить, является ли вектор q линейной комбинацией векторов m и n, мы можем умножить векторы m и n на соответствующие значения x и y, а затем сложить полученные векторы:

m * x = {-1; 1; -3} * 19 = {-19; 19; -57}
n * y = {6; - 5; 1} * 3 = {18; - 15; 3}

m * x + n * y = {-19; 19; -57} + {18; -15; 3} = {-19 + 18; 19 - 15; -57 + 3} = {-1; 4; -54}

Итак, мы получили вектор {-1; 4; -54}.

Если вектор q совпадает с полученным вектором, то вектор q является линейной комбинацией векторов m и n.

В нашем случае, вектор q = {1; -4; p}, а полученный вектор {-1; 4; -54}.

Чтобы эти векторы совпали, значение p должно быть равно -54.

Таким образом, вектор q={1; -4; -54} является линейной комбинацией векторов m={-1; 1; -3} и n={6; -5; 1} при значении параметра p=-54.