можно предположить, что для любых двух разных точек a и b из s найдется отличная от них точка x из s такая, что либо xa < 0,999ab, либо xb < 0,999ab.
переформулируем утверждение: для любого отрезка i с концами в s и длиной l найдется отрезок i′ с концами в s длины не более 0,999l, один из концов которого совпадает с некоторым концом i.
или, иначе говоря, i′ пересекает i.
возьмем теперь первый отрезок i1 длины l и будем брать отрезки i2, i3, …так, что ik + 1 пересекается с ik и |ik + 1| < 0,999|ik|.
все эти отрезки имеют концы в s. ломаная не короче отрезка, соединяющего ее концы, поэтому расстояние от любого конца ik до любого конца i1 не превосходит
следовательно, в квадрате 2000l × 2000l с центром в любом из концов i1 лежит бесконечное число точек s.
но из условия следует конечность их числа в любом квадрате.
Якщо годинна стрілка нерухомо стояла би на місці (наприклад на "12"), а хвилинна рухалась як їй належить (24 оберти за добу), то прямий кут за добу утворився б 48 разів - щогодини 15 хвилин по точній годині і за 15 хвилин до точної години (00:15, 00:45, 01:15, 01:45, 02:15, 02:45 і т.д.) Насправді ж годинна стрілка рухається вперед і за добу робить 2 оберти. Тобто хвилинна стрілка обганяє годинну 22 рази і кожен раз утворює по два прямих кута, а всього - 44 рази утворюється прямий кут між стрілками. Відповідь: 44 рази
P.S. Наприклад, за дві години з 2:00 до 4:00 прямий кут буде не чотири рази, а три (хвилини приблизні): 2:27, 3:00, 3:36. Також таке станеться на проміжках з 8:00 до 10:00; з 14:00 до 16:00; з 20:00 до 22:00. Тобто всього 4 рази ми отримуємо три кути замість чотирьох, і значить від результату 48 потрібно відняти 4.
докажем утверждение от противного.
можно предположить, что для любых двух разных точек a и b из s найдется отличная от них точка x из s такая, что либо xa < 0,999ab, либо xb < 0,999ab.
переформулируем утверждение: для любого отрезка i с концами в s и длиной l найдется отрезок i′ с концами в s длины не более 0,999l, один из концов которого совпадает с некоторым концом i.
или, иначе говоря, i′ пересекает i.
возьмем теперь первый отрезок i1 длины l и будем брать отрезки i2, i3, …так, что ik + 1 пересекается с ik и |ik + 1| < 0,999|ik|.
все эти отрезки имеют концы в s. ломаная не короче отрезка, соединяющего ее концы, поэтому расстояние от любого конца ik до любого конца i1 не превосходит
следовательно, в квадрате 2000l × 2000l с центром в любом из концов i1 лежит бесконечное число точек s.
но из условия следует конечность их числа в любом квадрате.