Question

Если для функции f(x) выполняется равенство... Условия в приложении. Решить задачу.

Answer 1

$c - 37$

Объяснение:

Выразим $f(x)$ из данного тождества.

${\displaystyle f(x) = \frac{(x-3)(2x-1)^{10}-c}{x}$

Найдем производную.

По формуле для частного:

${\displaystyle f'(x) = \frac{((x-3)(2x-1)^{10}-c)'*x-((x-3)(2x-1)^{10}-c)*x'}{x^2}$

${\displaystyle ((x-3)(2x-1)^{10}-c)' = ((x-3)(2x-1)^{10})' - c' = ((x-3)(2x-1)^{10})' - 0$

${\displaystyle ((x-3)(2x-1)^{10})' = (x-3)'(2x-1)^{10} + (x-3)((2x-1)^{10})'$

${\displaystyle (x-3)' = x' - 3' = 1 - 0 = 1$

Далее нужно вычислить производную сложной функции:

$\displaystyle ((2x-1)^{10})' = 10 (2x-1)^9*(2x-1)' = 10 (2x-1)^9 * 2 = 20(2x-1)^9$

Собираем все вместе:

${\displaystyle ((x-3)(2x-1)^{10})' = 1(2x-1)^{10} + 20(x-3)(2x-1)^9$

${\displaystyle f'(x) = \frac{((2x-1)^{10} + 20(x-3)(2x-1)^9)*x-((x-3)(2x-1)^{10}-c)*1}{x^2}$

Нужно найти лишь значение при $x=1$ поэтому приводить к более красивому виду я не буду.

Найдем значение производной при $x=1$

${\displaystyle f'(1) = \frac{((2-1)^{10} + 20(1-3)(2-1)^9)*1-((1-3)(2-1)^{10}-c)}{1^2} =$

${\displaystyle = \frac{(1^{10} + 20(-2)1^9)-((-2)1^{10}-c)}{1} =$

${\disaplystyle = 1 - 40 - (-2-c) = 1 - 40 + 2 + c = -37 + c = c - 37$

Теория:

Правила дифференцирования:

Если С - постоянное число. ${\displaystyle f=f(x) , g = g(x)$ - некоторые дифференцируемые функции, то:

${\displaystyle C' = 0$

${\displaystyle (x^n)' = nx^{n-1}$

${\displaystyle (f \pm g)' = f' \pm g'$

$(fg)' = f'g+fg'$

${\displaystyle \left(\frac{f}{g} = \frac{f'g-fg'}{g^2} \right)$

${\displaystyle (f(g(x)))' = f(g)' * g(x)'$