Задача 1. При каких значениях выполняется равенство || = ? ответ обоснуйте. Задача 2. Существуют ли какие-нибудь значения , при которых выполняется равенство || =
−? ответ обоснуйте.
Задача 3. Верно ли равенство || = | − |? Какую геометрическую интерпретацию оно имеет?
Задача 4. Докажите равенство | − | = | − | с предыдущей задачи и с геометрической интерпретации модуля.
Определение 1. Будем называть целое число ∈ Z чётным, если можно найти такое целое число ∈ Z, что = 2. (Другими словами, если можно представить в виде = 2)
Определение 2. Будем называть целое число ∈ Z нечётным, если можно найти такое целое число ∈ Z, что = 2 + 1. (Другими словами, если можно представить в виде = 2 + 1)
Задача 5. Докажите, что любое целое число попадает либо под данное выше определение чётного числа, либо под данное выше определения нечётного числа. Докажите, что нет числа, которое и чётное, и нечётное одновременно.
Задача 6. Вспомните правила чётности, которые были сформулированы в вторник. Докажите какое-нибудь правило чётности, которое не было доказано на доске.
Задача 7. Пользуясь правилом чётности, докажите, что не существует целого числа , для которого 2 + 2021 = 20202021.
Задача 8. Докажите, что число 2 − 1, где ∈ Z тоже определяет нечётное число.
(Пояснение. Имеем 5 цифр. На первое место можно поставить любую из имеющихся пяти цифр, т.е. 7,8,5,1 и 0. Второе место "занято" цифрой 5, т.е. всего один вариант. На третье и на четвёртое место можно поставить любую из имеющихся пяти цифр (см. рассуждение выше). На последнем месте - единственный вариант - цифра ноль). Осталось только перемножить полученные варианты и вывести результат)