Дана функция у=0,5x^{4} - 4x^{4}. найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции, б) точки экстремума, в)наибольшее и наименьшее знаение функции на отрезке {-1, 3} (10 класс)
Многое в поставленной вами задачи зависит от того Какие значения может принимать Х изменяясь в своей области определения . Кроме того важно сразу отметить что если вы ищете аналитическую закономерность (виде некоторой формулы) то её может и не быть.
Если множество значений Х дискретно то можно использовать любой из стандартных методов интерполяции : линейную, дробно- линейную, многочлен Тейлора , Чебышева, Ньютана , Лагранжа и т.д
Приведу пример нахождения интерполяционного многочлена Тейлора по следующим данным : при Х1=0 Y1=1 ,при X2=1 Y2=2 , при X3=2 Y3=1; многочлен ищем ввиде: P(x)=A0+A1*X+A2*X^2 , где коэффициенты A0,A1,A2- подлежат определению, подставляя последовательно вместо X значения Х1,Х2,Х3 а вместо P(x) значения Y1,Y2,Y3- соответственно получим следующию систему уравнений: P(X1)=A0+A1*0+A2*0*0=A0=1 итак A0=1; P(X2)=1+A1*1+A2*1*1=2 P(X3)=1+A1*2+A2*2*2=1+2*A1+4*A2=1 находим A1 и A2 из последних двух строк Получим A1=-1 ,A2=2 итак искомый многочлен представляется P(x)=1 – X +2*X^2 Данный многочлен даёт представление о ВОЗМОЖНОЙ аналитической зависимости между X и Y. Естественно этот результат не единственен. Вообще же рекомендую прочитать книжку: Л.И. Турчак П.В. Плотников «Основы численных методов»
у=0,5x⁴ - 4x⁴
Производная данной функции: у'=2х³-16х³
2х³-16х³=0
2х³(1-8)=0
2х³=0 или 1-8=0 не имеет сымсла
х=0
а)(-∞;0)- функция возрастает, (0;+∞) - функция убывает
б) х=0 - точка максимума, так как производная в этой точке меняет знак с "+" на "-"
в)у(-1)=0,5*(-1)⁴-4*(-1)⁴=0,5-4=-3,5
у(0)=0 - наибольшее значение функции
у(3)=0,5*(3)⁴-4*(3)⁴=-283,5 - наименьшее значение функции