Пусть A=(n+1,...,n+k), В=(m+1,...,m+k) - исходные наборы подряд идущих чисел. Пусть A' и B' - наборы чисел, которые получаются из А и В перестановкой элементов, причем после суммирования чисел, стоящих в одинаковых местах в A' и B', получается набор подряд идущих натуральных чисел S=(s+1,...,s+k). Тогда сумма всех чисел в А и В должна равняться сумме чисел в S (т.к. эта сумма не зависит от перестановки элементов), т.е. nk+(k+1)k/2+mk+(k+1)k/2=sk+(k+1)k/2, откуда n+m+(k+1)/2=s. Значит k обязано быть нечетным.
Покажем, что при любом нечетном k можно так переставить числа в А и В, что получится требуемый S. Очевидно, что достаточно это сделать в случае когда n=m=0, т.е. A=B=(1,...,k) т.к. вычитание (или прибавление) к каждому элементу набора фиксированного числа n или m сохраняет "подряд идущесть" как в самих А и В, так и в S. В этом случае s=(k+1)/2. Переставим элементы набора А следующим образом: А'=(1,s+1, 2, s+2, 3, s+3, ... ,s-1,2s-1,s), т.е. на нечетных местах стоят числа 1,2,...,s, а на четных местах s+1, s+2,...,2s-1. Т.е. всего 2s-1=k штук. Переставим элементы набора B следующим образом: B'=(s,1, s+1, 2, s+2, 3, ... ,2s-2,s-1,2s-1), т.е. на нечетных местах стоят числа s,s+1,...,2s-1, а на четных местах 1, 2,...,s-1. Т.е. тоже всего 2s-1=k штук. Cкладывая элементы на одинаковых местах в наборах А' и B', получим набор S=(s+1, s+2, s+3, s+4, ..., 3s-3, 3s-2, 3s-1), т.е. набор из последовательных чисел. Например, для k=9, s=(9+1)/2=5, A'=(1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9, 5), B'=(5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9), S =(6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14). Таким образом, нужные k - все нечетные числа не превосходящие 2013, коих 2014/2=1007 штук.
1) Sin(a)*(1-Cos^2(a)) = Sin^2 (a) * Sin^2 (a) = Sin^4 (a)
2)Sin^4(a) + cos^4(a) + 2sin^2(a)(1-sin^2(a)) = Sin^4(a) + cos^4(a) + 2sin^2(a) - 2Sin^4(a) = cos^4(a) + 2sin^2(a) - Sin^4(a) = cos^4(a) + sin^2(a)*(2-Sin^2(a)) = cos^4(a) + sin^2(a)*(1+1-Sin^2(a)) = cos^4(a) + sin^2(a)*(1+Cos^2(a))
3)cos(a)*(Cos^2(a)+Sin^2(a)) = cos(a)
4)(cos^3(a)-sin^3(a))+(cos(a)sin^2(a)-sin(a)*cos^2(a))=(cos^3(a)-sin^3(a))+Cos(a)*Sin(a)*(Sin^2(a)-Cos^2(a)=Cos(a)*Sin(a)*(Cos^2(a)-Sin^2(a)+Sin^2(A)-Cos^2(a))=Cos(a)*Sin(a)*0=0