Если m-простое число в данном случае m=37, то набор N={2,3,4,5...,35} всегда можно разбить на пары (a,b) произведении которых, будут давать a*b дает остаток 1 по модулю 37 (некий частный случай Теоремы Вильсона).
По теореме Вильсона 36! = 36 по mod 37 значит докажем числитель делится на 37 (это и докажет что p делится на 37) так как q не делится на 37.
Воспользовавшись леммой, получаем что каждое слагаемое в числителе
(3*4*5*...*36)^2=(36*x1)^2 по mod 37
(2*4*5*6*...*36)^2=(36*x2)^2 по mod 37
(2*3*5*6*...*36)^2=(36*x3)^2 по mod 37
...
(2*3*4*5*...*35)^2=1 mod 37 (Теорема Вильсона)
Отметим что x1,x2,x3.,,,.x(m-3) чисел попарно различные, образующие очевидно множество {2,3,4,...m-2} тогда среди можно выбрать два элемента которые дадут сравнение x^2=y^2 mod 37 потому что (x-y)(x+y)=0 mod 37 , а множество можно разбить на соответственные суммы 2+35=3+34=...=18+19
Докажем что (1*x1^2+2*x2^2+3*x3^2+4*x4^2+...+34*x(34)^2) = 2 mod 37
Так как выше было сказано что половина остатков равные, то выражение можно записать через остатки которые будут образовывать последовательную сумму (так как набор из множества {2,3,4,...,35} откуда
p=35*(2^2+3^2+4^2+...+17^2+18^2)
воспользуемся формулой что 1^2+2^2+3^2+...n^2=n(n+1)(2n+1)/6
Тогда p=35*(18*19*37/6-1) = 35*3*19*37 - 35 = 0-(37-2) = 2 mod 37
Выражения связаны между собой: q×√(2x+8)= √(3x-8) q×√(3x-8)= 1
возведём в квадрат каждое выражение, не забывая про область определения: х>=8/3 имеем: q^2×(2x+8)=3x-8 q^2×(3x-8)=1 из второго выразим q^2 =1/(3х-8) и подставим в 1 (2x+8)/(3x-8)=3x-8 после преобразований имеем: 2х+8=9x^2-48x+64 или 9x^2-50x+56,получив квадратное уравнение,решаем через дискриминант,по формуле D=√b^2-4ac=√50^2-4×9×56=√2500-2016=√484=22; x1=-b+√D/2a=50+√484/2×9=50+22/18=72/18=4; x2=-b-√D/2a=50-√484/2×9=50-22/18=28/18=14/9 корни 4 и 14/9, но 14/9<8/3 - не подходит, значит ответ х=4 Таким образом при x=4 геометрическая последовательность будет такой: 16;4;1
Воспользуемся леммой
Если m-простое число в данном случае m=37, то набор N={2,3,4,5...,35} всегда можно разбить на пары (a,b) произведении которых, будут давать a*b дает остаток 1 по модулю 37 (некий частный случай Теоремы Вильсона).
Преобразуем
1/2^2+2/3^2+3/4^2+...+35/36^2 = ((3*4*5*...*36)^2+2*(2*4*5*6*...*36)^2+...+35*(2*3*4*...*35)^2)/(36!)^2
По теореме Вильсона 36! = 36 по mod 37 значит докажем числитель делится на 37 (это и докажет что p делится на 37) так как q не делится на 37.
Воспользовавшись леммой, получаем что каждое слагаемое в числителе
(3*4*5*...*36)^2=(36*x1)^2 по mod 37
(2*4*5*6*...*36)^2=(36*x2)^2 по mod 37
(2*3*5*6*...*36)^2=(36*x3)^2 по mod 37
...
(2*3*4*5*...*35)^2=1 mod 37 (Теорема Вильсона)
Отметим что x1,x2,x3.,,,.x(m-3) чисел попарно различные, образующие очевидно множество {2,3,4,...m-2} тогда среди можно выбрать два элемента которые дадут сравнение x^2=y^2 mod 37 потому что (x-y)(x+y)=0 mod 37 , а множество можно разбить на соответственные суммы 2+35=3+34=...=18+19
p=36^2(1*x1^2+2*x2^2+3*x3^2+4*x4^2+...+34*x(34)^2)+35
так как 36^2=1 по mod 37
Докажем что (1*x1^2+2*x2^2+3*x3^2+4*x4^2+...+34*x(34)^2) = 2 mod 37
Так как выше было сказано что половина остатков равные, то выражение можно записать через остатки которые будут образовывать последовательную сумму (так как набор из множества {2,3,4,...,35} откуда
p=35*(2^2+3^2+4^2+...+17^2+18^2)
воспользуемся формулой что 1^2+2^2+3^2+...n^2=n(n+1)(2n+1)/6
Тогда p=35*(18*19*37/6-1) = 35*3*19*37 - 35 = 0-(37-2) = 2 mod 37
То есть p=36^2*2+35 = 1*2+35 = 0 mod 37