Question

Вычислиие интеграл, преобразуя подынтегральные функции ​

Answer 1

$1) ~ \displaystyle \int\limits^{\tfrac{\pi}{18} }_{0} (\cos x \cos 2x - \sin x \sin 2x) \, dx$

Воспользуемся формулой косинуса суммы: $\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos (\alpha + \beta )$

Тогда имеем:

$\displaystyle \int\limits^{\tfrac{\pi}{18} }_{0} \cos(x + 2x) \, dx = \int\limits^{\tfrac{\pi}{18} }_{0} \cos 3x \, dx = \dfrac{1}{3} \int\limits^{\tfrac{\pi}{18} }_{0} 3 \cos 3x \, dx$

Пусть $3x = t$. Тогда $3\, dx = dt$

Пределы интегрирования:

если $x = \dfrac{\pi}{18}$, то $t = 3 \cdot \dfrac{\pi}{18}=\dfrac{\pi}{6}$если $x = 0$, то $t = 3 \cdot 0 = 0$

Переходим к новому определенному интегралу с новой переменной и пределами интегрирования:

$\displaystyle \dfrac{1}{3} \int\limits^{\tfrac{\pi}{6} }_{0} \cos t \, dt = \dfrac{1}{3} \cdot \sin t \Big|^{\tfrac{\pi}{6}}_{0} = \dfrac{1}{3} \cdot \left(\sin \frac{\pi}{6} - \sin 0 \right) = \dfrac{1}{3} \left(\frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{1}{6}$

$2) ~ \displaystyle \int\limits^{\tfrac{\pi}{16} }_{0} (\sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x) \, dx$

Воспользуемся формулой синуса суммы: $\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin (\alpha + \beta )$

Тогда имеем:

$\displaystyle \int\limits^{\tfrac{\pi}{16} }_{0} \sin (x + 3x) \, dx = \int\limits^{\tfrac{\pi}{16} }_{0} \sin 4x \, dx = \frac{1}{4} \int\limits^{\tfrac{\pi}{16} }_{0} 4 \sin 4x \, dx$

Пусть $4x = t$. Тогда $4\, dx = dt$

Пределы интегрирования:

если $x = \dfrac{\pi}{16}$, то $t = 4 \cdot \dfrac{\pi}{16}=\dfrac{\pi}{4}$если $x = 0$, то $t = 4 \cdot 0 = 0$

Переходим к новому определенному интегралу с новой переменной и пределами интегрирования:

$\displaystyle \dfrac{1}{4} \int\limits^{\tfrac{\pi}{4} }_{0} \sin t \, dt = -\frac{1}{4} \cos t \Big|^{\tfrac{\pi}{4} }_{0} = -\frac{1}{4} \left(\cos \frac{\pi}{4} - \cos 0 \right) =$

$\displaystyle = -\frac{1}{4} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \right) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} - 2}{2} = -\frac{\sqrt{2} - 2}{8} = \frac{2 - \sqrt{2}}{8}$

$3) ~ \displaystyle \int\limits^{1,5}_{0,3} \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{x^{2}} \right) \, dx = \int\limits^{1,5}_{0,3} \frac{dx}{2} + \int\limits^{1,5}_{0,3} 3x^{-2} \, dx =$

$= \displaystyle \left(\frac{x}{2} + 3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} \right) \Bigg|^{1,5}_{0,3} = \left(\frac{x}{2} - \frac{3}{x} \right) \Bigg|^{1,5}_{0,3} =$

$= \dfrac{1,5}{2} - \dfrac{3}{1,5} - \left(\dfrac{0,3}{2} - \dfrac{3}{0,3} \right) = \dfrac{3}{4} - 2 - \dfrac{3}{20} + 10 = 8\dfrac{3}{5}$

$4) ~ \displaystyle \int\limits^{-1}_{-2} \left(x - \frac{4}{x^{2}} \right) \, dx = \int\limits^{-1}_{-2} x \, dx - \int\limits^{-1}_{-2} 4x^{-2} \, dx =$

$= \left(\dfrac{x^{2}}{2} - 4 \cdot \dfrac{x^{-2+1}}{-2+1} \right)\Bigg|^{-1}_{-2} = \left(\dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{4}{x} \right)\Bigg|^{-1}_{-2} =$

$= \dfrac{(-1)^{2}}{2}+ \dfrac{4}{-1} - \left(\dfrac{(-2)^{2}}{2}+ \dfrac{4}{-2} \right) = \dfrac{1}{2} - 4 - 2 + 2 = -3\dfrac{1}{2}$

ответ: $1) ~ \dfrac{1}{6}; ~~~ 2) ~ \dfrac{2 - \sqrt{2}}{8}; ~~~ 3) ~ 8\dfrac{3}{5}; ~~~ 4) ~ {-}3\dfrac{1}{2}. ~\blacktriangleleft$