Question

Докажите что функция y=f(x) является первообразной для функции f(x): если f(x)= 0,3x^10=2x^7-4x и f(x)=3x^9+14x^6-4

Answer 1

 F'(X)= 0,3*10x^9+7*2x^6-4=3x^9+14x^6-4, значит является первообразной

Answer 2

Для начала, давайте разберемся с тем, что значит быть первообразной функции.

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале I, если для любого x из I производная F'(x) равна f(x).

То есть, если мы найдем функцию F(x), такую что ее производная F'(x) равна данной функции f(x), то она будет являться первообразной функции f(x).

Теперь обратимся к нашим задачам:

1) Если f(x) = 0,3x^10 - 2x^7 - 4x

Для начала, найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx (0,3x^10 - 2x^7 - 4x)

Применим правило дифференцирования для каждого слагаемого:

f'(x) = 0,3 * 10x^(10-1) - 2 * 7x^(7-1) - 4 * 1x^(1-1)

Упростим:

f'(x) = 3x^9 - 14x^6 - 4

Здесь мы получили производную функции f(x), которая равна 3x^9 - 14x^6 - 4.

Теперь, чтобы доказать, что функция y=f(x) является первообразной для данной функции, нужно показать, что производная y' равна f(x).

Так как y=f(x), то y' = f'(x)

y' = 3x^9 - 14x^6 - 4

Мы видим, что y' совпадает с f(x), значит функция y=f(x) является первообразной для функции f(x).

2) Если f(x) = 3x^9 + 14x^6 - 4

Аналогично первой задаче, найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx (3x^9 + 14x^6 - 4)

Применим правило дифференцирования для каждого слагаемого:

f'(x) = 3 * 9x^(9-1) + 14 * 6x^(6-1) - 0

Упростим:

f'(x) = 27x^8 + 84x^5

Теперь сравним полученную производную f'(x) с исходной функцией y=f(x) и убедимся в их совпадении:

y' = 27x^8 + 84x^5

Мы видим, что y' равно f(x), значит функция y=f(x) является первообразной для данной функции f(x).

Итак, в обоих случаях мы доказали, что функция y=f(x) является первообразной функции f(x) путем сравнения производной y' с исходной функцией f(x) и увидев их совпадение.