Question

некоторое натуральное число в четвертой степени имеет 85 натуральных делителя (включая единицу и само число). сколько натуральных делителей имеет это число в седьмой степени?

Answer 1

Пусть число записано в виде произведения степеней простых множителей:

$m=a^xb^y...c^z$, где $a,\ b,\ ...,\ c\in\mathbb{P};\ x,\ y,\ ...,\ z\in\mathbb{N}$

Тогда, число делителей этого числа определяется по формуле:

$n_d(m)=(x+1)(y+1)...(z+1)$

Рассмотрим некоторое число $k$. Пусть $k^4$ имеет 85 делителей. Разложим число 85 на множители:

$85=5\cdot17$

Заметим, что число 85 раскладывается на какие бы то ни было множители единственным образом.

Зная это, необходимо рассмотреть две ситуации.

1) Число делителей находилось как произведение из одного множителя (условное произведение):

$n_d(k^4)=x+1=85$

$\Rightarrow x=84$

Тогда, число $k^4$ имеет вид:

$k^4=a^{84}$

Найдем число $k$:

$k=\sqrt[4]{a^{84}}$

$k=a^{21}$

Найдем число $k^7$:

$k^7=(a^{21})^7$

$k^7=a^{147}$

Число делителей этого числа:

$n_d(k^7)=147+1=148$

2) Число делителей находилось как произведение из двух множителей:

$n_d(k^4)=(x+1)(y+1)=5\cdot17$

$\Rightarrow x=4;\ y=16$

Тогда, число $k^4$ имеет вид:

$k^4=a^4b^{16}$

Найдем число $k$:

$k=\sqrt[4]{a^4b^{16}}$

$k=ab^4$

Найдем число $k^7$:

$k^7=(ab^4)^7$

$k^7=a^7b^{28}$

Число делителей этого числа:

$n_d(k^7)=(7+1)\cdot(28+1)=8\cdot29=232$

ответ: 148 или 232