Question

С ОТВЕТОМ РЕБЯТ, У МЕНЯ ДВА ОДИНАКОВЫХ ВОПРОСА 2) Знайти всі значення $\sqrt[4]{-8+8\sqrt{3i} }$

Answer 1

$\sqrt[8]{256-64\sqrt6}\left(\frac12\sqrt{\frac15(10+\sqrt{5(10+\sqrt5(8-3\sqrt6))})}+i\frac1{2\sqrt{\frac5{10-\sqrt{5(10+\sqrt{5(8-3\sqrt6)})}}}}\right)$

в обычной записи

и

$\sqrt[4]{-8+(4+4i)\sqrt6}$

в более удобной

Объяснение:

Вычисляем по частям

$\displaystyle 8\sqrt{3i}=8\sqrt3\sqrt i=8\sqrt3(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4)=4\sqrt3\sqrt2+4\sqrt3\sqrt2i\\-8+8\sqrt{3i}=-8+4\sqrt3\sqrt2+4\sqrt3\sqrt2i\\\sqrt[4]{-8+8\sqrt{3i}}=\sqrt[4]{a+bi}$

При этом

$a=4\sqrt3\sqrt2-8\\b=4\sqrt3\sqrt2i$

$\displaystyle \sqrt[4]{a+bi}=\sqrt[8]{a^2+b^2}(\cos(\frac14\arctan(\frac{b}{a}) )+i\sin(\frac14\arctan(\frac{b}{a})))$

$\displaystyle \arctan(\frac{b}{a})= \arctan(\frac{4\sqrt3\sqrt2}{4\sqrt3\sqrt2-8})=\arctan(\frac{4\sqrt3\sqrt2}{4(\sqrt3\sqrt2-2)})=\arctan(\frac{\sqrt3\sqrt2}{\sqrt3\sqrt2-2})=\arctan(3+\sqrt6)$

$\displaystyle\cos( \frac14\arctan(3+\sqrt6))=\frac12\sqrt{\frac15(10+\sqrt{5(10+\sqrt5(8-3\sqrt6))})}$

$\displaystyle \sin(\frac14\arctan(3+\sqrt6))=\frac1{2\sqrt{\frac5{10-\sqrt{5(10+\sqrt{5(8-3\sqrt6)})}}}}$

Оба этих страшных равенства следуют из ОТТ

$\displaystyle \sqrt[8]{(-8+4\sqrt3\sqrt2)^2+(4\sqrt3\sqrt2)^2}=\sqrt[8]{64-64\sqrt6+96+96}=\sqrt[8]{256-64\sqrt6}$

Запишем ответ:

Часть 1:

$\frac12\sqrt{\frac15(10+\sqrt{5(10+\sqrt5(8-3\sqrt6))})}+i\frac1{2\sqrt{\frac5{10-\sqrt{5(10+\sqrt{5(8-3\sqrt6)})}}}}$

Часть 2:

$\sqrt[8]{256-64\sqrt6}$

ответ: $\sqrt[8]{256-64\sqrt6}\left(\frac12\sqrt{\frac15(10+\sqrt{5(10+\sqrt5(8-3\sqrt6))})}+i\frac1{2\sqrt{\frac5{10-\sqrt{5(10+\sqrt{5(8-3\sqrt6)})}}}}\right)$Если раскрыть мнимые части, то останется

$\sqrt[4]{8\sqrt[4]{-1}\sqrt3-8}$

Убирая как тригонометрическую запись, останется только (так как корни и все коэффициенты уйдут под основной корень)

$\sqrt[4]{-8+(4+4i)\sqrt6}$