Чтобы решить данную задачу, нам нужно найти первые восемь членов прогрессии, где произведение первых двух членов равно 1/3, а произведение первого члена на пятый равно 1/64.
Пусть первый член прогрессии равен а, а разность между любыми двумя последовательными членами равна d.
Используя эти обозначения, первые два члена прогрессии можно записать следующим образом:
а
а + d
Мы знаем, что произведение первых двух членов равно 1/3, поэтому мы можем записать уравнение:
а * (а + d) = 1/3
Раскроем скобки:
а^2 + ad = 1/3
Также мы знаем, что произведение первого члена и пятого члена равно 1/64, поэтому мы можем записать второе уравнение:
а * (а + 4d) = 1/64
Раскроем скобки:
а^2 + 4ad = 1/64
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (а и d). Решим ее для нахождения значений a и d:
Система уравнений:
1) а^2 + ad = 1/3
2) а^2 + 4ad = 1/64
Домножим первое уравнение на 4 и вычтем второе уравнение из него, чтобы избавиться от переменной а:
4(а^2 + ad) - (а^2 + 4ad) = 4 * (1/3) - 1/64
4а^2 + 4ad - а^2 - 4ad = 4/3 - 1/64
3а^2 = 256/192 - 3/192
3а^2 = 253/192
а^2 = 253/576
а = √(253/576)
а ≈ 0,58
Теперь, когда мы знаем значение а, мы можем найти значение d, подставив его в первое уравнение:
а * (а + d) = 1/3
0,58 * (0,58 + d) = 1/3
0,58 * 0,58 + 0,58d = 1/3
0,3364 + 0,58d = 1/3
0,58d = 1/3 - 0,3364
0,58d = 0,33 - 0,3364
0,58d = -0,0064
d = -0,0064 / 0,58
d ≈ -0,011
Теперь у нас есть значения a и d, и мы можем записать первые восемь членов прогрессии:
а = 0,58
d = -0,011
Первый член: а = 0,58
Второй член: а + d = 0,58 - 0,011 = 0,569
Третий член: а + 2d = 0,58 - 2 * 0,011 = 0,558
Четвертый член: а + 3d = 0,58 - 3 * 0,011 = 0,547
Пятый член: а + 4d = 0,58 - 4 * 0,011 = 0,536
Шестой член: а + 5d = 0,58 - 5 * 0,011 = 0,525
Седьмой член: а + 6d = 0,58 - 6 * 0,011 = 0,514
Восьмой член: а + 7d = 0,58 - 7 * 0,011 = 0,503
Таким образом, первые восемь членов прогрессии будут:
Система
{a1*a2=1/3
{a1*a5=1/64
{a1*a1*q=1/3
{a1*a1*q^4=1/64
1/q^3=64/3
q^3=3/64