1. Преобразуем уравнение:
4х^2 + 12х + 12/х + 4/х^2 = 47;
4(х^2 + 2 + 1/x^2) - 8 + 12(х + 1/х) - 47 = 0;
4(х + 1/x)^2 + 12(х + 1/х) - 55 = 0.
2. Замена:
х + 1/x = t;
4t^2 + 12t - 55 = 0;
D/4 = 6^2 + 4 * 55 = 36 + 220 = 256 = 16^2;
t = (-6 ± 16)/4;
t1 = (-6 - 16)/4 = -22/4 = -11/2;
t2 = (-6 + 16)/4 = 10/4 = 5/2.
3. Обратная замена:
х + 1/x = t;
х^2 + 1 = tx;
х^2 - tx + 1 = 0;
1) t = -11/2;
х^2 + 11/2 * x + 1 = 0;
2х^2 + 11x + 2 = 0;
D = 11^2 - 4 * 2 * 2 = 121 - 16 = 105;
x1/2 = (-11 ± √105)/4;
2) t = 5/2;
х^2 - 5/2 * x + 1 = 0;
2х^2 - 5x + 2 = 0;
D = 5^2 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9;
x = (5 ± √9)/4 = (5 ± 3)/4;
x3 = (5 - 3)/4 = 2/4 = 1/2;
x4 = (5 + 3)/4 = 8/4 = 2.
ответ: (-11 ± √105)/4; 1/2; 2.
Нехай власна швидкість човна дорівнює х км/год, тоді швидкість за течією дорівнює (х+2) км/год, і швидкість проти течії дорівнює (х-2) км/год. Моторний човен проти течії пройшов 10 км: він зробив це за 10/(х-2) год. За течією він пройшов 9 км: він зробив це за 9/(х+2) год. Так як при цьому за течією він йшов на 30 хвилин менше, ніж проти течії, складемо рівняння і обов'язково врахуємо, що 30 хв = 0,5 год:
9/(х+2)+0,5=10/(х-2)
10/(х-2)-9(х+2)=0,5
(20х+40-18х+36-х²+4)/(2х²-8)=0
-х²+2х+80=0
х²-2х-80=0
(х+8)(х-10)=0
х=-8(км/год) – не підходить за змістом завдання: швидкість не може бути від'ємною;
х=10(км/год) – власна швидкість човна.
Відповідь: 10 км/год.
b1+b3=20
b3=b1*q², тогда
b1+b1*q²=20
b1(1+q²)=20
b2+b4=60
b2=b1*q
b4=b1*q³
b1*q+b1*q³=60
b1*q(1+q²)=60
Таким образом, перешли к решению системы:
b1(1+q²)=20
b1*q(1+q²)=60
Из 1 уравннеия выражаем b1:
b1=20/(1+q²)
Подставляем во второе:
(20q(1+q²))/(1+q²)=60
Разделим на 20:
(q(1+q²))/(1+q²)=3
(q+q³)/(1+q²)=3
q+q³=3(1+q²)
q+q³=3+3q²
q+q³-3-3q²=0
(q+q³)-(3+3q²)=0
q(1+q²)-3(1+q²)=0
(1+q²)(q-3)=0
1+q²=0 или q-3=0
q²=-1 - решений нет q=3
b1=20/(1+q²)=20/(1+9)=20/10=2
Проверка:
получилась геометр. последовательность: 2, 6, 18,54
b1+b3=2+18=20 - верно
b2+b4=6+54=60 - верно
ответ: q=3, b1=2.