3.
y = -x^2 + 4x + 5
Решаем через дискриминант.
D = b^2 - 4ac = 16 - 4 * (-1) * 5 = 16 + 20 = 36
x1 = (-b - sqrt(D)) / 2a = (- 4 - 6) / 2 = -5
x2 = (-b + sqrt(D)) / 2a = (- 4 + 6) / 2 = 1
Проверка: 25 - 20 + 5 = 1 + 4 + 5 = 10.
4.
x - y = 3
x^2 - xy - 2y^2 = 7
Здесь можно выразить х через у, используя первое выражение.
х = у + 3
Подставляем его во второе выражение:
(y + 3)^2 - (y + 3) * y - 2y^2 = 7
(y + 3)^2 = y^2 + 6y + 9 - по формуле сокращенного умножения
(y + 3) * y = y^2 + 3y
y^2 + 6y + 9 - y^2 - 3y - 2y^2 = 7
3y + 9 - 2y^2 = 7
-2y^2 + 3y + 9 = 7 - приводим к нулю
-2y^2 + 3y + 2 = 0 - теперь у нас квадратичное уравнение, решаем как всегда.
D = b^2 - 4ac = 9 - (-16) = 25
y1 = (-b - sqrt(D)) / 2a = (-3 - 5) / -4 = 2
y2 = (-b + sqrt(D)) / 2a = (-3 + 5) / -4 = -0,5
Подставляем к значениям х:
х1 - 2 = 3
x1 = 5
Проверяем по второму выражению:
25 - 10 - 8 = 7
x2 - (-0,5) = 3
x2 = 2,5
Проверяем по второму выражению:
6.25 + 1.25 - 0.5 = 7
В обоих случаях все сошлось.
ответ: х1 = 5, у1 = 2; х2 = 2,5, у2 = -0,5.
Обозначим объём воды в бассейне за 1(единицу), а наполнение водой бассейна в час первой трубой за (х), а второй трубой за час (у),
тогда наполнение бассейна водой обеими трубами наполняется за:
1/ ((х+у)=6 (часов)
Если наполнить бассейн первой трубой, бассейн наполнится за:
1/х=10 (часов)
Решим эту систему уравнений:
1/(х+у)=6
1/х=10
1=6*(х+у)
1=10*х
1=6х+6у
1=10х
Из второго уравнения найдём значение (х)
х=1:10
х=0,1
Подставим значение (х) в уравнение: 1=6х+6у
1=6*0,1+6у
6у=1-0,6
6у=0,4
у=0,4 :6
у=4/10 : 6=4/10*6=4/60=2/15
И так как заполнение бассейна второй трубой в час равно у=2/15,
то вторая труба заполнит бассейн за :
1 : 2/15=15/2=7,5 (часа)
ответ: Бассейн заполнится второй трубой за 7,5 часов