ответ:Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же {\displaystyle x\to a} x\to a величины {\displaystyle \alpha (x)} \alpha(x) и {\displaystyle \beta (x)} \beta(x) (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).
Если {\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=0} \lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=0, то {\displaystyle \beta } \beta — бесконечно малая высшего порядка малости, чем {\displaystyle \alpha } \alpha . Обозначают {\displaystyle \beta =o(\alpha )} \beta =o(\alpha ) или {\displaystyle \beta \prec \alpha } \beta\prec\alpha.
Если {\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=\infty } \lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=\infty , то {\displaystyle \beta } \beta — бесконечно малая низшего порядка малости, чем {\displaystyle \alpha } \alpha . Соответственно {\displaystyle \alpha =o(\beta )} \alpha =o(\beta ) или {\displaystyle \alpha \prec \beta } \alpha\prec\beta.
Если {\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=c} \lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=c (предел конечен и не равен 0), то {\displaystyle \alpha } \alpha и {\displaystyle \beta } \beta являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как {\displaystyle \alpha \asymp \beta } \alpha\asymp\beta или как одновременное выполнение отношений {\displaystyle \beta =O(\alpha )} \beta =O(\alpha ) и {\displaystyle \alpha =O(\beta )} \alpha =O(\beta ). Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа.
Если {\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha ^{m}}}=c} \lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha ^{m}}}=c (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина {\displaystyle \beta } \beta имеет {\displaystyle m} m-й порядок малости относительно бесконечно малой {\displaystyle \alpha } \alpha .
Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.
а)(3а+4)² = 9а²+24а+16
б)(2х-b)²=4x²-4xb+b²
в)(b+3)(b-3)=b²-9
г)(5у-2х)(5у+2х)=25y²-4x²
2 Упростите выражение:
(с+b)(с-b)-(5c²-b²)=c²- b² - 5c²+b²=-4c²
3 Разложите на множители
а)25у²-а²=(5y-a)(5y+a)
б)с²+4bc+4b²=(c+2b)²
4 Решите уравнение
12-(4-Х)²=х(3-х)
12-16+8x-x²=3x-x²
8x-x²-3x+x²=16-12
5x=4
x=0,8
5 Выполните действия
а)(3х+у²) (3х-у²)=9x²-y^4
б)(а³-6а)²=a^6-12a^4+36a²
в)(а-х)²(х+а)=(a²-2ax+x²)(x+a)=a²x+a³-2ax²-2a²x+x³+ax²=-a²x+a³-ax²+x³
6 Решите уравнение
а)(4х-3)(4х+3)-(4х-1)²=3х
16x²-9-16x²+8x-1-3x=0
5x-10=0
5x=10
x=2
б)16с²-49=0
c²=49/16
c1=7/4=1,75 c2=-7/4=-1,75
7 Разложите на множители
а )100а4 - 1/9b² =(10a²-1/3b)(10a²+1/3b)
б) 9х²-(х-1)²=(3x+x-1)(3x-x+1)=(4x-1)(2x+1)