Question

Найдите угол между векторами AB и CD, если А(3;-1;-3), B(3;-2;2), C(2;-2;3), D(1;2;2)

Answer 1

≈ 24,6°

Объяснение:

Для начала найдем вектор по координатам точек:

AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az}

AB = {3 - 3; -2 - (-1); 2 - (-3)}

AB = {0; -1; 5}

CD = {Dx - Cx; Dy - Cy; Dz - Cz}

CD = {1 - 2; 2 - (-2); 2 - 3}

CD = {-1; 4; -1}

Теперь найдем скалярное произведение векторов:

AB · CD = ABx · CDx + ABy · CDy + ABz · CDz

AB · CD = 0 · (-1) + (-1) · 4 + 5 · (-1)

AB · CD = 0 - 4 - 5

AB · CD = -9

Затем найдем длины векторов:

|AB| = $\sqrt{ABx^{2} + ABy^{2} + ABz^{2} }$

|AB| = $\sqrt{0^{2} + (-1)^{2} + 5^{2} }$

|AB| = $\sqrt{0 + 1 + 25}$

|AB| = $\sqrt{26}$

|CD| = $\sqrt{CDx^{2} + CDy^{2} + CDz^{2} }$

|CD| = $\sqrt{(-1)^{2} + 4^{2} + (-1)^{2} }$

|CD| = $\sqrt{1 + 16 + 1 }$

|CD| = $\sqrt{18}$

|CD| = 3$\sqrt{2}$

Найдем косинус угла между векторами:

cos $\alpha$ =  $\frac{AB * CD}{|AB| * |CD|}$

cos $\alpha$ =  $\frac{-9}{\sqrt{26} * 3\sqrt{2}}$

cos $\alpha$ = $-\frac{3\sqrt{13}}{26}$

cos $\alpha$ =  ≈ -0.41602514716892186

И наконец-то находим по таблице брадисса угол, с найденого косинуса

Это ≈ 24,6°