Question

Зная, что многочлены f (x) и g (x) тождественно равны, найдите значение коэффициентов а, b, с, d:
1)f (x) = 2x2 - (3 - а) x + b, g (x) = cx3 + 2dx2 + x + 5;
2)f (x) = (а + 1) x3 + 2, g (x) = 3x3 + bx2 + (c - 1) x + d.

Answer 1

Для решения этой задачи, мы сравниваем многочлены f(x) и g(x) и приравниваем их друг другу.

1) Для получения значения коэффициентов a, b, c и d, равняем многочлены f(x) и g(x):

2x^2 - (3 - a)x + b = cx^3 + 2dx^2 + x + 5

2) Нам нужно сравнять коэффициенты при одинаковых степенях x и приравнять их:

2x^2 = 2dx^2 (равняем коэффициенты при x^2)
- (3 - a)x = x (равняем коэффициенты при x)
b = 5 (равняем свободные члены)

3) Решим каждое уравнение, чтобы найти значения коэффициентов:

2x^2 = 2dx^2

Переместим все члены на одну сторону:

2x^2 - 2dx^2 = 0

Вынесем x^2 за скобку:

x^2(2 - 2d) = 0

Так как для произведения равно нулю, одно из слагаемых должно быть равно нулю:

x^2 = 0 или 2 - 2d = 0

Решение первого уравнения показывает, что x^2 должно быть равно нулю. Это значит, что x должно быть нулевым, что является тривиальным решением, и мы не получим никакой дополнительной информации.

Решим второе уравнение:

2 - 2d = 0

Выразим d:

2 = 2d
d = 1

4) Теперь решим следующее уравнение:

-(3 - a)x = x

Переместим все члены на одну сторону:

-(3 - a)x - x = 0

-(3 - a - 1)x = 0

Поскольку одно из слагаемых равно нулю, одно из условий состоит в том, что (3 - a - 1) = 0. Решим это уравнение:

3 - a - 1 = 0

Теперь выразим a:

- a + 3 - 1 = 0

- a + 2 = 0

a = 2

5) Рассмотрим последнее уравнение:

b = 5

Коэффициент b равен 5.

Итак, мы найдем значения коэффициентов a, b, c и d:

a = 2, b = 5, c - любое значение, d = 1.