Добрый день! Давайте рассмотрим каждый из вариантов по очереди.
а) Для того чтобы составить уравнение касательной к графику функции y=2x²-3 в точке с ординатой y₀=1, сначала нам нужно найти значения x и y в данной точке.
Из уравнения функции y=2x²-3 следует, что y₀=2x₀²-3, где x₀ и y₀ - значения x и y в точке (x₀, y₀).
Так как y₀=1, то получаем уравнение 1=2x₀²-3.
Теперь найдем значение x₀ из этого уравнения:
2x₀²-3=1
2x₀²=1+3
2x₀²=4
x₀²=4/2
x₀²=2
x₀=√2 или x₀=-√2
Итак, у нас есть два возможных значения x₀: √2 и -√2.
Теперь, чтобы найти соответствующие значения y₀, мы подставим каждое из найденных значений x₀ в уравнение y=2x²-3:
При x₀=√2: y₀=2(√2)²-3=2*2-3=4-3=1
При x₀=-√2: y₀=2(-√2)²-3=2*2-3=4-3=1
Таким образом, у нас есть две точки на графике функции y=2x²-3 с ординатой y₀=1: (√2, 1) и (-√2, 1).
Чтобы составить уравнение касательной к графику функции в этих точках, мы используем формулу для уравнения прямой y-y₁=k(x-x₁), где (x₁, y₁) - координаты точки, а k - значение производной функции в данной точке.
Для точки (√2, 1):
У нас уже есть координаты точки: x₁=√2 и y₁=1.
Найдем производную функции y=2x²-3 и подставим в формулу:
y-y₁=k(x-x₁)
y-1=k(x-√2)
Для нахождения значения k подставим координаты точки (√2, 1) в производную функции:
k=f'(√2)
k=4*√2
Таким образом, уравнение касательной к графику функции y=2x²-3 в точке (√2, 1) будет:
y-1=4*√2(x-√2)
Аналогично, для точки (-√2, 1):
У нас уже есть координаты точки: x₁=-√2 и y₁=1.
Найдем производную функции y=2x²-3 и подставим в формулу:
y-y₁=k(x-x₁)
y-1=k(x-(-√2))
y-1=k(x+√2)
Для нахождения значения k подставим координаты точки (-√2, 1) в производную функции:
k=f'(-√2)
k=4*(-√2)=-4√2
Таким образом, уравнение касательной к графику функции y=2x²-3 в точке (-√2, 1) будет:
y-1=-4√2(x+√2)
б) Для составления уравнения касательной к графику функции y=2x²-3 в точке с ординатой y₀=-3, мы выполняем те же шаги, что и в предыдущем случае.
Итак, для y₀=-3, мы решаем уравнение -3=2x₀²-3.
-3=2x₀²-3
0=2x₀²
x₀²=0
x₀=0
Таким образом, у нас есть одна точка на графике функции y=2x²-3 с ординатой y₀=-3: (0, -3).
Теперь, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в этой точке, мы используем формулу уравнения прямой y-y₁=k(x-x₁).
Для точки (0, -3):
У нас уже есть координаты точки: x₁=0 и y₁=-3.
Найдем производную функции y=2x²-3 и подставим в формулу:
y-y₁=k(x-x₁)
y-(-3)=k(x-0)
y+3=kx
Для нахождения значения k подставим координаты точки (0, -3) в производную функции:
k=f'(0)
k=0
Таким образом, уравнение касательной к графику функции y=2x²-3 в точке (0, -3) будет:
y+3=0(x-0)
y+3=0
Надеюсь, это объяснение позволит вам лучше понять, как составить уравнение касательной к графику функции y=2x²-3 в указанных точках. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, будьте свободны задавать их.
Применим свойство логарифма: ln(a) = -ln(b) эквивалентно a = 1/b:
x - 2a = 1/(x + 2a)
Перемножим обе части уравнения на (x + 2a):
(x - 2a)(x + 2a) = 1
Раскроем скобки:
x^2 - (2a)^2 = 1
Упростим:
x^2 - 4a^2 = 1
Решим это уравнение относительно x:
x^2 = 1 + 4a^2
x = ±√(1 + 4a^2)
Уравнение 2: ln(x - 2a) = ln(x + 2a) - 4x
Применим свойство логарифма: ln(a) = ln(b) эквивалентно a = b:
x - 2a = x + 2a - 4x
Упростим:
-6x - 4a = 0
Решим это уравнение относительно x:
x = -2a/3
Теперь осталось найти значения а, при которых уравнение имеет единственный корень на отрезке [0;1].
Для этого подставим полученное значение x в исходное уравнение и проверим, сколько корней имеет уравнение.
а) Для того чтобы составить уравнение касательной к графику функции y=2x²-3 в точке с ординатой y₀=1, сначала нам нужно найти значения x и y в данной точке.
Из уравнения функции y=2x²-3 следует, что y₀=2x₀²-3, где x₀ и y₀ - значения x и y в точке (x₀, y₀).
Так как y₀=1, то получаем уравнение 1=2x₀²-3.
Теперь найдем значение x₀ из этого уравнения:
2x₀²-3=1
2x₀²=1+3
2x₀²=4
x₀²=4/2
x₀²=2
x₀=√2 или x₀=-√2
Итак, у нас есть два возможных значения x₀: √2 и -√2.
Теперь, чтобы найти соответствующие значения y₀, мы подставим каждое из найденных значений x₀ в уравнение y=2x²-3:
При x₀=√2: y₀=2(√2)²-3=2*2-3=4-3=1
При x₀=-√2: y₀=2(-√2)²-3=2*2-3=4-3=1
Таким образом, у нас есть две точки на графике функции y=2x²-3 с ординатой y₀=1: (√2, 1) и (-√2, 1).
Чтобы составить уравнение касательной к графику функции в этих точках, мы используем формулу для уравнения прямой y-y₁=k(x-x₁), где (x₁, y₁) - координаты точки, а k - значение производной функции в данной точке.
Для точки (√2, 1):
У нас уже есть координаты точки: x₁=√2 и y₁=1.
Найдем производную функции y=2x²-3 и подставим в формулу:
y-y₁=k(x-x₁)
y-1=k(x-√2)
Для нахождения значения k подставим координаты точки (√2, 1) в производную функции:
k=f'(√2)
k=4*√2
Таким образом, уравнение касательной к графику функции y=2x²-3 в точке (√2, 1) будет:
y-1=4*√2(x-√2)
Аналогично, для точки (-√2, 1):
У нас уже есть координаты точки: x₁=-√2 и y₁=1.
Найдем производную функции y=2x²-3 и подставим в формулу:
y-y₁=k(x-x₁)
y-1=k(x-(-√2))
y-1=k(x+√2)
Для нахождения значения k подставим координаты точки (-√2, 1) в производную функции:
k=f'(-√2)
k=4*(-√2)=-4√2
Таким образом, уравнение касательной к графику функции y=2x²-3 в точке (-√2, 1) будет:
y-1=-4√2(x+√2)
б) Для составления уравнения касательной к графику функции y=2x²-3 в точке с ординатой y₀=-3, мы выполняем те же шаги, что и в предыдущем случае.
Итак, для y₀=-3, мы решаем уравнение -3=2x₀²-3.
-3=2x₀²-3
0=2x₀²
x₀²=0
x₀=0
Таким образом, у нас есть одна точка на графике функции y=2x²-3 с ординатой y₀=-3: (0, -3).
Теперь, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в этой точке, мы используем формулу уравнения прямой y-y₁=k(x-x₁).
Для точки (0, -3):
У нас уже есть координаты точки: x₁=0 и y₁=-3.
Найдем производную функции y=2x²-3 и подставим в формулу:
y-y₁=k(x-x₁)
y-(-3)=k(x-0)
y+3=kx
Для нахождения значения k подставим координаты точки (0, -3) в производную функции:
k=f'(0)
k=0
Таким образом, уравнение касательной к графику функции y=2x²-3 в точке (0, -3) будет:
y+3=0(x-0)
y+3=0
Надеюсь, это объяснение позволит вам лучше понять, как составить уравнение касательной к графику функции y=2x²-3 в указанных точках. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, будьте свободны задавать их.