Question

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (0; 0), (1,5; 2), (-0,5; 4)

Answer 1

Можно вычислить длины векторов, а затем найти площадь по формуле Герона.

Для удобства дадим названия точкам:

A(0;0)

B(1,5;2)

C(-0,5;4)

Найдем длины этих векторов (они же будут числено равняться сторонам  треугольника)

Но для начала нужно найти координаты веткторов:

$\overline{AB}(1,5;2)\\ \overline{BC}(2;-2)\\ \overline{CA}(-4;0,5)$

отсюда уже находим их длины:

$|\overline{AB}|=\sqrt{1,5^2+2^2}=2,5\\ |\overline{BC}|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=2\sqrt2\\ |\overline{CA}|=\sqrt{(-4)^2+0,5^2}=\sqrt{16,25}=2\sqrt{4,0625}\\$

формула Герона:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\ p=\frac{a+b+c}{2}$

т.е. p - это полупериметр

$p=\frac{2,5+2\sqrt2+2\sqrt{4,0625}}{2}=1,25+\sqrt2+\sqrt{4,0624}\\ (1,25+\sqrt2+\sqrt{4,0624})(1,25+\sqrt2+\sqrt{4,0624}-2,5)* \\ *(1,25+\sqrt2+\sqrt{4,0624}-2\sqrt2)* \\ * (1,25+\sqrt2+\sqrt{4,0624}-2\sqrt{4,0625}) = 12,25\\ S=\sqrt{12,25}=3,5$