Question

2 1. Найти функцию, обратную к данной:

а) у = 2х – 3; б) у = х2 – 3;

2. Выяснить равносильны ли уравнения:

5х² + 4х – 1 = 0 и х(2х +11) = - 6 - х²

3.Выяснить равносильны ли неравенства:

х – 3 4(x – 1) – 1

Answer 1

1. а) Для нахождения обратной функции, необходимо решить уравнение у = 2х - 3 относительно х.
Подставим у = 2х - 3 в уравнение и решим его:

у = 2х - 3
у + 3 = 2х
х = (у + 3) / 2

Получили обратную функцию: х = (у + 3) / 2.

б) Для нахождения обратной функции, необходимо решить уравнение у = х^2 - 3 относительно х.
Подставим у = х^2 - 3 в уравнение и решим его:

у = х^2 - 3
у + 3 = х^2
х = √(у + 3)

Получили обратную функцию: х = √(у + 3).

2. Чтобы выяснить, равносильны ли уравнения 5х² + 4х - 1 = 0 и х(2х + 11) = -6 - х², нужно решить каждое уравнение и сверить полученные решения.

a) Решим уравнение 5х² + 4х - 1 = 0:

Для начала, мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти корни этого квадратного уравнения:

Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 5, b = 4, c = -1.

D = 4² - 4*5*(-1) = 16 + 20 = 36.

Так как D > 0, это означает, что уравнение имеет два различных корня.

Используем формулу корней квадратного уравнения:

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-4 + √36) / (2*5) = (-4 + 6) / 10 = 2/10 = 0.2

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-4 - √36) / (2*5) = (-4 - 6) / 10 = -10/10 = -1

Таким образом, уравнение 5х² + 4х - 1 = 0 имеет два корня: x₁ = 0.2 и x₂ = -1.

b) Решим уравнение х(2х + 11) = -6 - х²:

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

2х² + 11х = -6 - х²

Перенесём все члены в одну сторону уравнения:

3х² + 11х + 6 = 0

Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 3, b = 11, c = 6.

D = 11² - 4*3*6 = 121 - 72 = 49.

Так как D > 0, это означает, что уравнение имеет два различных корня.

Используем формулу корней квадратного уравнения:

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-11 + √49) / (2*3) = (-11 + 7) / 6 = -4/6 = -2/3

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-11 - √49) / (2*3) = (-11 - 7) / 6 = -18/6 = -3

Таким образом, уравнение х(2х + 11) = -6 - х² имеет два корня: x₁ = -2/3 и x₂ = -3.

Мы видим, что корни уравнений в a) и b) различаются, поэтому уравнения не равносильны.

3. Чтобы выяснить, равносильны ли неравенства х - 3 < 4(x - 1) - 1, нужно решить оба неравенства и сравнить полученные решения.

a) Решим неравенство х - 3 < 4(x - 1) - 1:

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

х - 3 < 4x - 4 - 1

Сократим подобные члены:

х - 3 < 4x - 5

Перенесём все к одной стороне неравенства:

х - 4x < -5 + 3

-3x < -2

Домножим обе части неравенства на -1 и поменяем знак:

3x > 2

Теперь делим обе части неравенства на 3:

x > 2/3

Таким образом, решением данного неравенства является все числа х, для которых х > 2/3.

b) Решим неравенство 4(x - 1) - 1 > х - 3:

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

4x - 4 - 1 > х - 3

Сократим подобные члены:

4x - 5 > х - 3

Перенесём все к одной стороне неравенства:

4x - х > -3 + 5

3x > 2

Теперь делим обе части неравенства на 3:

x > 2/3

Таким образом, решением данного неравенства является все числа х, для которых х > 2/3.

Мы видим, что решения неравенств в a) и b) совпадают, поэтому неравенства равносильны. Они оба имеют решение х > 2/3.