Вдоль оси Ох движутся два тела: Первый согласно уравнению х = 10-2t, но уравнению X, = 2 + 2t. В какой момент времени, и в какой точке они встретятся? Задачу решить аналитически.
Чтобы решить данную систему уравнений, мы можем воспользоваться методом исключения или методом подстановки.
Метод подстановки:
1. Разрешим одно из уравнений относительно одной из переменных. Для примера, возьмем первое уравнение и разрешим его относительно переменной x:
2x² + 4y² = 24
2x² = 24 - 4y²
x² = 12 - 2y²
x = √(12 - 2y²)
2. Подставим найденное значение x во второе уравнение:
4(12 - 2y²) + 8y² = 24x
48 - 8y² + 8y² = 24x
48 = 24x
x = 48 / 24
x = 2
3. Теперь, имея значение x, подставим его в первое уравнение:
2(2)² + 4y² = 24
8 + 4y² = 24
4y² = 24 - 8
4y² = 16
y² = 16 / 4
y² = 4
y = √4
y = ±2
Таким образом, система уравнений имеет два решения:
1. x = 2, y = -2
2. x = 2, y = 2
Для удостоверения, подставим найденные значения в оба уравнения:
1. Подставим x = 2 и y = -2 в оба уравнения:
2(2)² + 4(-2)² = 24
2(4) + 4(4) = 24
8 + 16 = 24
24 = 24 (верно)
Давайте исследуем каждую функцию по очереди на непрерывность.
а) Функция y = 25/x^2 + 25.
Чтобы узнать, непрерывна ли функция в точке x₀, нужно проверить три условия: существование значения функции в этой точке, существование предела функции в этой точке, и совпадение этих двух значений.
1. Существование значения функции в точке x₀. Значение функции существует, если знаменатель не равен нулю. В данной функции знаменатель равен x^2, поэтому функция определена для всех значений x, кроме x=0.
2. Существование предела функции в точке x₀. Чтобы найти предел, найдем функцию g(x) = 25/x^2. Предел этой функции, когда x стремится к x₀, можно найти с помощью правила о пределах суммы и произведения функций: lim(g(x)) = lim(25) / lim(x^2). Предел 25 равен 25, а предел x^2 равен x₀^2. Таким образом, предел функции f(x) равен lim(25) / lim(x^2) + 25 = 25 / (x₀^2) + 25.
3. Совпадение значения функции и предела в точке x₀. Значение функции в точке x₀ равно 25/x₀^2 + 25. Подставим это значение в выражение для предела и получим: 25/(x₀^2) + 25 = 25/(x₀^2) + 25. Таким образом, значение функции и предела совпадают.
Итак, функция y = 25/x^2 + 25 непрерывна для всех значений x, кроме x=0.
б) Функция y = 1/x^2 + 4x + 4.
1. Существование значения функции в точке x₀. Значение функции существует, если знаменатель не равен нулю. В данной функции знаменатель равен x^2, поэтому функция определена для всех значений x, кроме x=0.
2. Существование предела функции в точке x₀. Чтобы найти предел, найдем функцию g(x) = 1/x^2. Предел этой функции, когда x стремится к x₀, можно найти так же, как в предыдущем случае: lim(g(x)) = lim(1) / lim(x^2) = 1 / (x₀^2).
3. Совпадение значения функции и предела в точке x₀. Значение функции в точке x₀ равно 1/x₀^2 + 4x₀ + 4. Подставим это значение в выражение для предела и получим: 1 / (x₀^2) + 4x₀ + 4 ≠ 1 / (x₀^2). Таким образом, значение функции и предела не совпадают.
Итак, функция y = 1/x^2 + 4x + 4 непрерывна для всех значений x, кроме x=0.
в) Функция y = 4x / (x^2 + x).
1. Существование значения функции в точке x₀. Значение функции существует, если знаменатель не равен нулю. В данной функции знаменатель равен x^2 + x, поэтому функция определена для всех значений x, кроме x=0 и x=-1.
2. Существование предела функции в точке x₀. Чтобы найти предел, найдем функцию g(x) = 4x / (x^2 + x). Чтобы найти предел этой функции, можно разделить каждую часть на x и применить правило о пределах отношений функций: lim(g(x)) = lim(4) / (lim(x^2) + lim(x)) = 4 / (x₀^2 + x₀).
3. Совпадение значения функции и предела в точке x₀. Значение функции в точке x₀ равно 4x₀ / (x₀^2 + x₀). Подставим это значение в выражение для предела и получим: 4 / (x₀^2 + x₀) = 4 / (x₀^2 + x₀). Таким образом, значение функции и предела совпадают.
Итак, функция y = 4x / (x^2 + x) непрерывна для всех значений x, кроме x=0 и x=-1.
г) Функция y = x / (1 - cos x).
1. Существование значения функции в точке x₀. Значение функции существует, если знаменатель не равен нулю. В данной функции знаменатель равен 1 - cos x, поэтому функция определена для всех значений x, кроме точек, в которых cos x = 1. Такие точки есть, например, x=2π и x=-2π, но здесь мы рассмотрим только точки, в которых cos x ≠ 1.
2. Существование предела функции в точке x₀. Чтобы найти предел, найдем функцию g(x) = x / (1 - cos x). Предел этой функции, когда x стремится к x₀, можно найти так же, как в предыдущих случаях: lim(g(x)) = lim(x) / lim(1 - cos x) = lim(x) / (1 - cos(x₀)).
3. Совпадение значения функции и предела в точке x₀. Значение функции в точке x₀ равно x₀ / (1 - cos x₀). Подставим это значение в выражение для предела и получим: x₀ / (1 - cos(x₀)) = x₀ / (1 - cos(x₀)). Таким образом, значение функции и предела совпадают.
Итак, функция y = x / (1 - cos x) непрерывна для всех значений x, кроме точек, в которых cos x = 1.
Метод подстановки:
1. Разрешим одно из уравнений относительно одной из переменных. Для примера, возьмем первое уравнение и разрешим его относительно переменной x:
2x² + 4y² = 24
2x² = 24 - 4y²
x² = 12 - 2y²
x = √(12 - 2y²)
2. Подставим найденное значение x во второе уравнение:
4(12 - 2y²) + 8y² = 24x
48 - 8y² + 8y² = 24x
48 = 24x
x = 48 / 24
x = 2
3. Теперь, имея значение x, подставим его в первое уравнение:
2(2)² + 4y² = 24
8 + 4y² = 24
4y² = 24 - 8
4y² = 16
y² = 16 / 4
y² = 4
y = √4
y = ±2
Таким образом, система уравнений имеет два решения:
1. x = 2, y = -2
2. x = 2, y = 2
Для удостоверения, подставим найденные значения в оба уравнения:
1. Подставим x = 2 и y = -2 в оба уравнения:
2(2)² + 4(-2)² = 24
2(4) + 4(4) = 24
8 + 16 = 24
24 = 24 (верно)
4(2)² + 8(-2)² = 24(2)
4(4) + 8(4) = 48
16 + 32 = 48
48 = 48 (верно)
2. Подставим x = 2 и y = 2 в оба уравнения:
2(2)² + 4(2)² = 24
2(4) + 4(4) = 24
8 + 16 = 24
24 = 24 (верно)
4(2)² + 8(2)² = 24(2)
4(4) + 8(4) = 48
16 + 32 = 48
48 = 48 (верно)
Таким образом, найденные значения переменных x и y удовлетворяют обеим уравнениям системы.