Question

Найдите наименьшей значение функции y= (х+4)в квадрате ( х+8)+2 на отрезке [-5; 8] с решением

Answer 1

Найдем производную функции

$\frac{dy}{dx}((x+4)^2*(x+8)+2)=\frac{d}{dx}((x+4)^2*(x+8))+\frac{d}{dx}(2)$, где $\frac{d}{dx}(2)=0$

$\frac{d}{dx}((x+4)^2*(x+8))=2(x+4)*1*(x+8)+(x+4)^2*1$, это находится по правилу деффиренцирования.

Значение функции может принимать максимальное или минимальное значение в точках касания, когда касательная параллельна оси ОХ, т.е. угловой коэффициент этой прямой равен 0, т.к.tg0=0 значит $2(x+4)*1*(x+8)+(x+4)^2*1=0$], решаем квадратное уравнение:

$2(x+4)(x+8)+(x+4)^2=0$

$3 x^2+32 x+80=0$

Корни:x=-20/3=-6,(6), он не подходит т.к. x может принимать значения от -5 до 8,

2-ой корень x=-4, подставим это значение в начальную функцию:$y=(x+4)^2(x+8)+2$ и получим y=2, теперь подставим -5 и 8:

x=-5,y=5

x=8,y=2306, т.е. наименьшее значение функции y=2

ответ:$y_{min}=2$

И график в доказательство