Ладно попробуем попробуем повыделываться. Перед нами линейное дифференциальное уравнение 2го порядка, с постоянными коэффициентами, к тому же неоднородное. Общее решение неоднородного уравнения находится в виде суммы общего решения однородного уравнения (правую часть заменить на 0), и какого нибудь ненулевого частного решения неоднородного уравнения. Приступим. Отработаем однородное уравнение (2) Cоответствующее характеристическое уравнение: (3) (3) Обычное квадратное уравнение. Его корни: где D - дискриминант уравнения (3) D=1-4*1*(-2)=1+8=9 Хороший дискриминант, корень нацело извлекается и корни получаются действительные. Ладно продолжаем (4) (5) Общее решение однородного уравнения (2) получается в виде: (6) Где и произвольные константы (постоянные). С учетом (4), (5) общее решение (6) выглядит так: (7) Так, есть общее решение однородного уравнения. Теперь надо найти частное решение неоднородного. Частное решение ищем в таком виде: (8) Где A и B некоторые коэффициенты, значения которых нам надо подобрать. Подбирать будем так: Найдем 1-ю и 2-ю производные (8) и подставим их и (8) в уравнение (1) вместо , и y. 1-я производная частного решения: (9) 2-я производная: (10) Ну вот, подставляем (8), (9), (10) в уравнение (1): Раскрываем скобки и перегруппировываем слагаемые в левой части: Таким образом получили такое соотношение для определения "неопределенных коэффициентов" A и B: (11) Приравниваем коэффициенты в правой и левой частях (11) при одинаковых степенях е. получаем : фактически простая система обычных линейных уравнений, решив которую, получаем: (12) Теперь, с учетом (12), частное решение (8) примет вид: (13) Ну вот, объеденяя (7) и (13), получаем общее решение уравнения (1): (14)
Фуу! Кажется все! Проверку, выполнять пока не буду Надо чайку хлебнуть. Неленивый может сам подставить (14) в (1) и проверить получится ли равенство. :)
Перед нами линейное дифференциальное уравнение 2го порядка, с постоянными коэффициентами, к тому же неоднородное.
Общее решение неоднородного уравнения находится в виде суммы общего решения однородного уравнения (правую часть заменить на 0), и какого нибудь ненулевого частного решения неоднородного уравнения.
Приступим. Отработаем однородное уравнение
Cоответствующее характеристическое уравнение:
(3) Обычное квадратное уравнение. Его корни:
где D - дискриминант уравнения (3)
D=1-4*1*(-2)=1+8=9 Хороший дискриминант, корень нацело извлекается и
корни получаются действительные. Ладно продолжаем
Общее решение однородного уравнения (2) получается в виде:
Где
С учетом (4), (5) общее решение (6) выглядит так:
Так, есть общее решение однородного уравнения. Теперь надо найти частное решение неоднородного.
Частное решение ищем в таком виде:
Где A и B некоторые коэффициенты, значения которых нам надо подобрать.
Подбирать будем так: Найдем 1-ю и 2-ю производные (8) и подставим их и (8) в уравнение (1) вместо
1-я производная частного решения:
2-я производная:
Ну вот, подставляем (8), (9), (10) в уравнение (1):
Раскрываем скобки и перегруппировываем слагаемые в левой части:
Таким образом получили такое соотношение для определения "неопределенных коэффициентов" A и B:
Приравниваем коэффициенты в правой и левой частях (11) при одинаковых степенях е. получаем :
фактически простая система обычных линейных уравнений, решив которую, получаем:
Теперь, с учетом (12), частное решение (8) примет вид:
Ну вот, объеденяя (7) и (13), получаем общее решение уравнения (1):
Фуу! Кажется все! Проверку, выполнять пока не буду Надо чайку хлебнуть. Неленивый может сам подставить (14) в (1) и проверить получится ли равенство. :)