(0;0;0) , (0;1;1) , (1;0;1) , (-1; 0; -1) , (-1;-1;0) , ( (1+√5)/2; (1+√5)/2; (1+√5)/2 ) ,
( (1-√5)/2; (1-√5)/2; (1-√5)/2 )
Объяснение:
x+y^2=z^3
x^2+y^3=z^4
x^3+y^4 =z^5
Заметим, что :
(x+y^2)*(x^3+y^4) = (x^2+y^3)^2
x^4 +x*y^4 +y^2*x^3 +y^6 = x^4 +2*x^2*y^3 +y^6
x*y^4 +y^2*x^3 - 2*x^2*y^3 = 0
x*y^2 *(y^2 -2*x*y +x^2) = 0
x*y^2*(y-x)^2 = 0
1) x=0
y^2=z^3
y^3=z^4
Рассмотрим сначала нулевое решение y=z=0 , теперь можно поделить второе уравнение на первое, предполагая , что z≠0 и y≠0 :
y=z → z^2=z^3 → z^2*(1-z)=0 → z=y=1
2) y = 0
x=z^3
x^2=z^4
Рассмотрим сначала нулевое решение x=z=0 , теперь можно поделить второе уравнение на первое, предполагая , что z≠0 и x≠0
z=x → z=z^3 → z(1-z^2) =0 → z*(1-z)*(1+z) = 0 → z=x=1; z=x=-1
3) x=y
x+x^2 =z^3
x^2+x^3 =z^4
Проверим случай, когда :
x+x^2 = 0
x*(x+1) = 0 → x=y=z=0 ; x=y=-1 ; z=0
Теперь можно не боясь за потерю решений поделить второе уравнение на первое :
x=z
x+x^2 = x^3
x*(x^2-x-1) = 0
x=y=z=0
А вот одно весьма неожиданное и интересное решение .
x^2-x-1=0
D= 1+4=5
x= (1+-√5)/2
x=y=z = (1+-√5)/2
Таким образом можно записать ответ : (x,y,z)
(0;0;0) , (0;1;1) , (1;0;1) , (-1; 0; -1) , (-1;-1;0) , ( (1+√5)/2; (1+√5)/2; (1+√5)/2 ) ,
( (1-√5)/2; (1-√5)/2; (1-√5)/2 )
Решить уравнение sin(8πx)+1 = cos(4πx)+ sqrt(2)*cos(4πx - π/4)
ответ: 1/8 + n/2 , n∈ ℤ ; x = ± 1/12 +k /2, k∈ ℤ
Объяснение:
sin2α =2sinα*cosα ; *cos(α - β )= cosα*cosβ ; sin(π/4)*cos(π/4) = 1 /√2 .
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
sin(2*4πx) + 1 = cos(4πx)+ √2*cos(4πx - π/4) ;
2sin(4πx)*cos(4πx) +1 = cos(4πx)+√2*(cos(4πx)*cos(π/4) +sin(4πx)*sin(π/4)) ;
2sin(4πx)*cos(4πx) +1 = cos(4πx)+√2(cos(4πx)*1/√2 +sin(4πx)*1/√2) ;
2sin(4πx)*cos(4πx) +1 = cos(4πx) + cos(4πx) +sin(4πx) ;
2sin(4πx)*cos(4πx) -2cos(4πx )+ 1- sin(4πx) = 0 ;
2sin(4πx)*cos(4πx) - 2cos(4πx )+ 1- sin(4πx) = 0 ;
2cos(4πx )*(sin(4πx) -1) - (sin(4πx) -1) = 0 ;
2(sin(4πx) -1)* (cos(4πx) -1/2 ) = 0 ;
а)
sin(4πx) -1 = 0
sin(4πx) =1 ;
4πx = π/2 +2πn , n∈ ℤ ;
x = 1/8 + n/2 , n∈ ℤ
б)
cos(4πx) -1/2 =0 ;
cos(4πx) = 1/2 ;
4πx = ± π/3 +2πk , k∈ ℤ ;
x = ± 1/12 +k /2, k∈ ℤ
