1) Область определения функции - ограничений нет, х ∈ (-∞; +∞).
Точки разрыва функции - нет.
2) Четность или нечетность функции.
y(-x)=-2·x3+6·x+5 ≠ у(х). Функция общего вида
3) Периодичность функции - нет.
4) Точки пересечения кривой с осями координат.
Пересечение с осью 0Y : x=0, y=5
Пересечение с осью 0X
y=0
2·x³-6·x+5=0 . Решается по методу Кардано.
x1=-2.0536232
5) Исследование на экстремум y = 2*x^3-6*x+5.
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 6·x²-6
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
6·x² - 6 = 0 , 6(x²- 1) = 0.
Откуда: x1 = -1 , x2 = 1.
(-∞ ;-1) (-1; 1) (1; +∞)
f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0
функция возрастает функция убывает функция возрастает
В окрестности точки x = -1 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -1 - точка максимума. В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 1 - точка минимума.
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная f''(x) = 12·x.
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю: 12·x = 0.
Откуда точки перегиба:
x1 = 0
(-∞ ;0) (0; +∞)
f''(x) < 0 f''(x) > 0
функция выпукла функция вогнута
6) Асимптоты кривой.
y = 2·x³-6·x+5.
Вертикальные асимптоты – нет.
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соответствующие пределы находим:
• lim x³-6x+5, x->+∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.
• lim x³-6x+5, x->-∞ = -∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.
Наклонные асимптоты графика функции.
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+∞ и x->-∞. Находим пределы:
• lim x³-6x+5/x, x->+∞ = ∞, значит, наклонной асимптоты справа не существует,
• lim x³-6x+5/x, x->-∞ = ∞, значит, наклонной асимптоты слева не существует.
1) x²+12x>0; x(x+12)>0; Нули неравенства: x=-12 или x=0. Ветви параболы направлены вверх, значит решением являются промежутки: (-∞;-12)∪(0;+∞). 2) 2x²-3x<0; x(2x-3)<0; Нули неравенства: х=0 или 2х-3=0; 2х=3; х=1,5. Ветви параболы направлены вверх, значит решением является промежуток: (0;1,5). 3) x²-7x-18>0; Находим нули неравенства: D=49+72=121; x1=(7-11)/2=-4/2=-2; x2=(7+11)/2=18/2=9. Ветви параболы направлены вверх, значит решением являются промежутки: (-∞;-2)∪(9;+∞). 4) x²-14x>0; x(x-14)>0; Нули неравенства: х=0 или х=14. Ветви параболы направлены вверх, значит решением являются промежутки: (-∞;0)∪(14;+∞). 5) 3x²+5x<0; х(3х+5)<0; Нули неравенства: 3х+5=0 или х=0; 3х=-5 х=-5/3. Ветви параболы направлены вверх, значит решением является промежуток: (-5/3;0). 6) x²-5x-24<0; Находим нули неравенства: D=25+96=121; x1=(5-11)/2=-6/2=-3; x2=(5+11)/2=16/2=8. Ветви параболы направлены вверх, значит решением является промежуток: (-3;8).
Дана функция у = 2х³ - 6х + 5.
1) Область определения функции - ограничений нет, х ∈ (-∞; +∞).
Точки разрыва функции - нет.
2) Четность или нечетность функции.
y(-x)=-2·x3+6·x+5 ≠ у(х). Функция общего вида
3) Периодичность функции - нет.
4) Точки пересечения кривой с осями координат.
Пересечение с осью 0Y : x=0, y=5
Пересечение с осью 0X
y=0
2·x³-6·x+5=0 . Решается по методу Кардано.
x1=-2.0536232
5) Исследование на экстремум y = 2*x^3-6*x+5.
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 6·x²-6
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
6·x² - 6 = 0 , 6(x²- 1) = 0.
Откуда: x1 = -1 , x2 = 1.
(-∞ ;-1) (-1; 1) (1; +∞)
f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0
функция возрастает функция убывает функция возрастает
В окрестности точки x = -1 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -1 - точка максимума. В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 1 - точка минимума.
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная f''(x) = 12·x.
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю: 12·x = 0.
Откуда точки перегиба:
x1 = 0
(-∞ ;0) (0; +∞)
f''(x) < 0 f''(x) > 0
функция выпукла функция вогнута
6) Асимптоты кривой.
y = 2·x³-6·x+5.
Вертикальные асимптоты – нет.
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соответствующие пределы находим:
• lim x³-6x+5, x->+∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.
• lim x³-6x+5, x->-∞ = -∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.
Наклонные асимптоты графика функции.
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+∞ и x->-∞. Находим пределы:
• lim x³-6x+5/x, x->+∞ = ∞, значит, наклонной асимптоты справа не существует,
• lim x³-6x+5/x, x->-∞ = ∞, значит, наклонной асимптоты слева не существует.