1) подкоренное выражение четной степени -должно быть положительно ( в примере корень второй степени)
x^2-6x+8≥0
D=36-32=4
x1=(6+2)/2=4
x2=(6-2)/2=2
так как парабола ветвями вверх (коэффициент пере x^2 положителен)
то методом интервалов
[2][4]
ответ: x=(-∞;2]U[4;+∞)
2)знаменатель дроби не равен 0, поэтому x-1≠0; x≠1
показатель логарифма положителен
(4-x^2)/(x-1)>0
корни когда левая часть обращается в 0 x=-2;2;1-их выкидываем и определяем знак в промежутках между ними
(-2)---(1)(2)
ответ x=(-∞;-2)U(1;2)
3)знаменатель не равен 0, поэтому log21(x+3)≠0; x+3≠21^0
x+3≠1; x≠-2
показатель логарифма положителен, поэтому x+3>0; x>-3
подкоренное выражение ≥0
25-x^2≥0; x^2≤25; x=[-5;5]
учитывая все три условия-получаю
ответ x=(-3;-2)U(-2;5]
Данный пример- это неравенство с модулем. Задание ( любое) с модулем решается одинаково: надо снять знак модуля, получить примитивные неравенства и решать их.
Решить неравенство- это найти значения переменной, обращающие данное неравенство в верное числовое неравенство.
Простой пример: 2х ≥10, разделим обе части неравенства на 2, получим равносильное неравенство(имеющее то же решение, что и исходное), получим х ≥ 5(это алгебраическая форма решения.)
Можно на числовой прямой :-∞ 5 +∞
Можно записать этот числовой промежуток:[5; +∞)
Все эти 3 записи равноправные.
А теперь твой пример.
Чтобы снять знак модуля, надо помнить, что |x| = x при х ≥0 и
|x| = -x при х < 0
Начали?
1) ищем "нули" подмодульных выражений:
2х-5 = 0 4-х = 0
х=2,5 х = 4
Эти 2 числа разбивают числовую прямую на 3 промежутка. На каждом промежутке наше неравенство будет иметь свой вид.
-∞ 2,5 4 +∞
- + + это знаки (2х -5)
+ + - это знаки (4-х)
теперь "сочиняем" на каждом промежутке неравенство без модулей:
а) (-∞; 2,5]
-(2x-5) +4-x ≤x +1
-2x +5 +4 -x ≤ x +1
-4x ≤-8
x≥ 2 Вывод: [2;2,5]
б) (2.5;4]
2x-5 +4 -x ≤ x +1
2x ≤ 2
x ≤ 1 Вывод : несовместны эти 2 записи
в)(4; +∞)
2х - 5 -(4 -х) ≤ х +1
2х -5 -4 +х ≤ х +1
2х ≤10
х ≤ 5 Вывод: х∈(4;5]