Question

1. выражения: а) 1 - sin2 альфа / cos2 альфа б) 1 - cos 2 альфа / 1 - sin2 альфа в)( 1+ tg2 альфа) * cos2 альфа - sin2 альфа г) (ctg2 альфа + 1) * sin2 альфа - cos2 альфа 2. найдите cos альфа, если извесно, что sin альфа= 1/5 , пи/2 < альфа < пи 3. выражения: а) 1 - sin2x б) 1 - cos2x в) 1 - cos2 альфа - sin2 альфа

Answer 1

Задание 1
$\dfrac{1-\sin2 \alpha }{\cos2 \alpha } = \dfrac{\cos^2 \alpha +\sin^2 \alpha -\sin2 \alpha }{\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha } = \dfrac{(\cos \alpha -\sin \alpha )^2}{(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha )} =\\ \\ \\ = \dfrac{\cos \alpha -\sin \alpha }{\cos \alpha +\sin \alpha }$

$\displaystyle \frac{1-\cos2 \alpha }{1-\sin2 \alpha } = \frac{1-1+2\sin^2 \alpha }{1-\sin2 \alpha } = \frac{ 2\sin^2 \alpha }{(\sin \alpha -\cos \alpha )^2}$

$(1+tg2 \alpha )\cdot \cos2 \alpha -\sin2 \alpha =\cos2 \alpha +\sin2 \alpha -\sin2 \alpha =\cos2 \alpha$

$(ctg2 \alpha +1)\cdot \sin2 \alpha -\cos2 \alpha =\cos2 \alpha +\sin2 \alpha -\cos2 \alpha =\sin2 \alpha$

Задание 2.

Рассмотрим с прямоугольного треугольника.

Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть:
1 - противолежащий катет
 5 - гипотенуза
По т. Пифагора:
$\sqrt{5^2-1^2} =2\sqrt{6}$  - прилежащий катет.

Косинус во второй четверти отрицателен.
Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе

$\cos \alpha =- \dfrac{2\sqrt{6} }{5}$

Задание 3.

$1-\sin2x=\sin^2x+\cos^2x-\sin2x=(\sin x-\cos x)^2$

$1-\cos2x=1-1+2\sin^2x=2\sin^2x$

$1-\cos2 \alpha -\sin2 \alpha =1-1+2\sin^2 \alpha -\sin2 \alpha =2\sin \alpha (\sin \alpha -\cos \alpha )$