в) Предположим, нам удалось вычеркнуть n сумм.
С одной стороны, сумма всех вычеркнутых чисел не меньше 1 + 2 + 3 + ... + 3n = 3n (3n + 1)/2; с другой стороны, сумма вычеркнутых чисел не больше 39 + 38 + 37 + ... + (40 - n) = n (79 - n) / 2. Поэтому n (79 - n) / 2 ≥ 3n (3n + 1)/2; 79 - n ≥ 9n + 3; n ≤ 7.
Покажем, что n = 7 возможно:
1 + 15 + 23 = 39
2 + 14 + 22 = 38
3 + 13 + 21 = 37
4 + 12 + 20 = 36
5 + 11 + 19 = 35
6 + 10 + 18 = 34
7 + 9 + 17 = 33
а) Например, первые 6 примеров выше
б) Нет, по доказанному
ответ. б) нет; в) 7
x - искомое четырехзначное число
x = 1000a+100b+10c+d, а - число тысяч, b - число сотен, с - число десятков, d - число единиц (0<a<10; 0<b<10; 0<c<10; 0<d<10)
a и d - крайние числа => a^2+d^2=65
b и с - вторая и третья цифры => b^2-c^2=27
Решим первое уравнение, учитывая, что a и d - натуральные числа: (1;8);(8;1);(4;7);(7;4)
Второе уравнение можно расписать так: (b-c)(b+c)=3^3. Это уравнение можно расписать как совокупность из четырех систем уравнений (учитывая, что (b-с) и (b+с) - натуральные числа, так как b и с - натуральные): 1) b-c=1 и b+c=3^3=27; 2) b-c=3 и b+c=3^2=9; 3)b-c=3^2=9 и b+c=3; 4)b-c=3^3=27 b b+c=1. Решая первую систему, получаем (14;13) - это не удовлетворяет условию 0<b<10 и 0<c<10. Решая вторую систему, получаем (6:3) - удовлетворяет нужным условиям. Решая третью систему, получаем (6;-3) - не удовлетворяет условию 0<c<10. Решая последнюю систему, получаем (14;-13) - не удовлетворяет условиям 0<b<10 и 0<c<10. Значит искомые числа b и с равны 6 и 3 соответственно.
Соединяя числа 6 и 3 и числа, полученные при решении уравнения a^2+d^2=65, получаем варианты искомого четырехзначного числа: 1638, 8631, 4637, 7634. Прибавляя к каждому числу 2727, убеждаемся, что искомое число - 4637 (так как 4637+2727=7364, то есть записанное искомое число в обратном порядке)
ответ: 4637