Для решения этого математического выражения, мы сначала займемся вычислением квадратного корня числа 80.
1. Так как 80 не является квадратом какого-либо числа, мы можем использовать приблизительное значение. Квадратный корень из 80 составляет примерно 8,94. Запомним это значение для дальнейших вычислений.
2. Теперь вернемся к исходному выражению: (9 + 80^(1/2))^(1/3) + (9 - 80^(1/2))^(1/3). Наша задача - вычислить два слагаемых: (9 + 80^(1/2))^(1/3) и (9 - 80^(1/2))^(1/3).
3. Для первого слагаемого мы можем заменить 80^(1/2) на значение 8,94, полученное на предыдущем шаге. Теперь у нас есть (9 + 8,94)^(1/3).
4. Мы можем вычислить сумму 9 и 8,94, что даст нам 17,94. Теперь у нас есть (17,94)^(1/3).
5. Чтобы взять кубический корень из 17,94, мы должны найти число, возведенное в куб, и дающее 17,94. Мы можем использовать пробные значения для приближенного поиска. Например, попробуем 2: 2^3 = 8. Это число меньше 17,94. Давайте попробуем большее число, например, 3: 3^3 = 27. Это число уже больше 17,94. Значит, искомое число находится между 2 и 3. Давайте попробуем использовать 2,5: 2,5^3 = 15,625. Это значение все еще меньше 17,94. Попробуем 2,7: 2,7^3 = 19,683. Это уже больше 17,94. Значит, искомое значение лежит между 2,5 и 2,7. Давайте попробуем взять среднее значение: (2,5 + 2,7) / 2 = 2,6. Теперь у нас есть (17,94)^(1/3) ≈ 2,6.
6. Перейдем ко второму слагаемому (9 - 80^(1/2))^(1/3). Опять же, мы заменяем 80^(1/2) на 8,94. Итак, у нас есть (9 - 8,94)^(1/3).
7. Мы можем вычислить разность 9 и 8,94, что даст нам 0,06. Теперь у нас есть (0,06)^(1/3).
8. Чтобы взять кубический корень из 0,06, мы снова должны найти число, возведенное в куб, и дающее 0,06. Давайте попробуем 0,5: 0,5^3 = 0,125. Это число меньше 0,06. Давайте попробуем 0,1: 0,1^3 = 0,001. Это уже слишком маленькое. Значит, искомое число находится между 0,1 и 0,5. Давайте попробуем взять среднее значение: (0,1 + 0,5) / 2 = 0,3. Теперь у нас есть (0,06)^(1/3) ≈ 0,3.
9. Теперь мы можем сложить два полученных значения: 2,6 + 0,3 = 2,9.
Итак, значение выражения (9 + 80^(1/2))^(1/3) + (9 - 80^(1/2))^(1/3) составляет примерно 2,9.
Для исследования функции y=f(x) на монотонность и экстремумы, мы должны провести анализ ее производной. Начнем с нахождения производной данной функции.
1. Найдем производную функции y=f(x) по формуле расчета производной произведения функций:
y' = (x^3-9x)*√(x-2)' + (x^3-9x)'*√(x-2).
2. Найдем производные каждого из слагаемых по отдельности:
(x^3-9x)' = 3x^2 - 9,
√(x-2)' = 1/(2√(x-2)).
3. Подставим найденные производные обратно в формулу производной функции:
y' = (3x^2 - 9)*√(x-2) + (x^3-9x)*(1/(2√(x-2))).
Таким образом, производная функции y=f(x) равна y' = (3x^2 - 9)*√(x-2) + (x^3-9x)*(1/(2√(x-2))).
Теперь перейдем к анализу производной для определения монотонности и экстремумов функции:
I. Анализ монотонности:
Проверим знак производной y' на каждом из интервалов между возможными точками экстремума функции:
a) Для x < 2:
В данном интервале √(x-2) является комплексным числом, и его производная не определена.
b) Для 2 < x < 3:
В этом интервале √(x-2) положительно, а производная y' будет равна:
y' = (3x^2 - 9)*√(x-2) + (x^3-9x)*(1/(2√(x-2)))
При подстановке х=2 в эту производную обнаружим разрыв, а значит, точки экстремума нет.
Чтобы исследовать знак производной на этом интервале, можем разложить производную на множители:
y' = (√(x-2))*(3(√(x-2))x^2 - 9√(x-2) + (x^3-9x)/(2(√(x-2))).
Заметим, что (√(x-2))^2=(x-2), тогда упростим производную:
y' = (√(x-2))*(x^2 - 3) = (√(x-2))(x-√3)(x+√3).
Знаки данной производной можно определить из соответствующих знаков факторов:
√(x-2) > 0 для всех x > 2,
x-√3 > 0 для x > √3,
x+√3 > 0 для x > -√3.
Таким образом, на интервале 2 < x < 3 производная положительна и функция монотонно возрастает.
c) Для x > 3:
Также, как и в предыдущем случае, можем разложить производную на множители:
y' = (√(x-2))(x^2 - 3) = (√(x-2))(x-√3)(x+√3).
Здесь производная отрицательна для x < -√3 и положительна для -√3 < x < √3. Но так как мы рассматриваем только интервалы x > 3, то производная всегда положительна на этом интервале.
Следовательно, функция на интервале x > 3 монотонно возрастает.
II. Анализ экстремумов:
Экстремумы возникают при равенстве производной нулю или в случае неопределенности.
Для функции y=f(x) найдем точки, в которых производная равна нулю:
(√(x-2))(x-√3)(x+√3) = 0.
Для этого уравнения мы имеем три фактора, которые могут быть равными нулю:
1) √(x-2) = 0, решение: x = 2.
Это значение попадает в интервал 2 < x < 3, где функция монотонно возрастает, поэтому это не точка экстремума.
2) x-√3 = 0, решение: x = √3.
Это значение попадает в интервал x > 3, где функция монотонно возрастает, поэтому это не точка экстремума.
3) x+√3 = 0, решение: x = -√3.
Это значение отрицательно и не попадает в интервалы, которые мы рассматриваем, поэтому это тоже не точка экстремума.
Итак, функция y=f(x) не имеет точек экстремума.
Итак, после исследования функции y=f(x) на монотонность и экстремумы, мы приходим к следующему выводу:
Функция y=f(x), первообразная для функции y=(x^3-9x)*корень(x-2), монотонно возрастает на интервалах 2 < x < 3 и x > 3, и не имеет экстремумов.
(3b-4)(2b+8)<(6b-2)(b+3)
6b2+24b-8b-32<6b2+18b-2b-6
6b2+16b-32<6b2+16b-6
В первой части -32, а во второй -6
-32 < -6