1. ДАНО Y = x² - 6*x + 5 - уравнение параболы. НАЙТИ Ymin = ? - наименьшее значение. РЕШЕНИЕ Чтобы найти координаты вершины параболы преобразуем уравнение к виду Y=(x - a)² +b Y = (x² - 2*3x + 9) - 9 + 5 = (x-3)² - 4. Вершина параболы: А(3;-4) Ay = - 4 - наименьшее значение - ОТВЕТ Точки пересечения с осями координат можно получить решением квадратного уравнения. D = 16, x1 = 1, x2 = 5 Рисунок к задаче в приложении. 2. График параболы на рис. 2. Корни - х1 = - 1б х2 = 3, вершина А(1;4). Но для решения задачи график не обязателен. Достаточно подставить значение У=3 и решить квадратное уравнение. 3 = - x² + 2*x + 3 - x² + 2*x = - x*(x-2) = 0 ОТВЕТ: х1 = 0, х2 = 2 Рисунок в приложении. 3. Каноническое уравнение параболы: Y= (x-a)² + b. Координаты вершины такой параболы: Ах = - а, Ау = b. Y = (x-3)² - уравнение параболы - дано. Вершина с координатами: А(3;0), и ветви параболы - вверх.∫ Рисунок в приложении.
Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: a) y = (2x + 50)/(x - 1), [1;10] Это гипербола у = 52/(х - 1) + 2 с точкой разрыва х = 1. Максимума функция не имеет, в том числе и на заданном промежутке. Минимум на заданном промежутке при х = 10, у = 70/9.
б) y=8 - 5x, [-1;1]. Это прямая, функция убывающая. Максимум на заданном промежутке при х = -1, у = 8+5=13. Минимум на заданном промежутке при х = 1, у = 8-5 = 3.
в) y=3 - cos x, [пи/3; 3пи/2]. При х = π cos = -1, тогда у = 3 + 1 = 4. Это максимум. Минимум равен 5/2 при х = π/3.
г)y=12 + x^2 - x^3/3, (-∞; 1] Производная y' = -x²+2x = -x(x - 2). Приравняв нулю, имеем 2 критические точки х = 0 и х = 2. У функции есть локальный максимум при х = 2 у = 40/3, минимум при х = 0. у = 12. Глобальных минимума и максимума нет.
№2.
Представьте число 9 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма удвоенного первого слагаемого и квадрата второго слагаемого была наименьшей. у = 2х + (9-х)² = 2x + 81 - 18x + x² = x² - 16x + 81. y' = 2x - 16 = 2(x -8). Приравняем производную нулю: 2(x -8) = 0, х = 8. Проверяем: 2*8 + 1 = 17. х = 5 у = 2*5 + 9 = 19. Значит, первое слагаемое 1, а второе 8. у = 2 + 64 = 66. Проверим х = 2, у = 4 + 49 = 53 правильно.
№3.
Садовод на своём дачном участке решил огородить прямоугольную клумбу заборчиком длиной 12 м. Каковы должны быть размеры клумбы, чтобы её площадь была наибольшей? Максимум площади при заданном периметре - у квадрата. S = (12/4)² = 9 м².
ДАНО
Y = x² - 6*x + 5 - уравнение параболы.
НАЙТИ
Ymin = ? - наименьшее значение.
РЕШЕНИЕ
Чтобы найти координаты вершины параболы преобразуем уравнение к виду
Y=(x - a)² +b
Y = (x² - 2*3x + 9) - 9 + 5 = (x-3)² - 4.
Вершина параболы: А(3;-4)
Ay = - 4 - наименьшее значение - ОТВЕТ
Точки пересечения с осями координат можно получить решением квадратного уравнения.
D = 16, x1 = 1, x2 = 5
Рисунок к задаче в приложении.
2. График параболы на рис. 2. Корни - х1 = - 1б х2 = 3, вершина А(1;4).
Но для решения задачи график не обязателен. Достаточно подставить значение У=3 и решить квадратное уравнение.
3 = - x² + 2*x + 3
- x² + 2*x = - x*(x-2) = 0
ОТВЕТ: х1 = 0, х2 = 2
Рисунок в приложении.
3. Каноническое уравнение параболы: Y= (x-a)² + b.
Координаты вершины такой параболы: Ах = - а, Ау = b.
Y = (x-3)² - уравнение параболы - дано.
Вершина с координатами: А(3;0), и ветви параболы - вверх.∫
Рисунок в приложении.