Question

Найти указанный предел (не пользуясь правилом Лопиталя) $\lim_{x \to 0} sin7x ctg5x$

Answer 1

$\lim_{x \to 0} sin7x ctg5x$

Для начала сделаем небольшие преобразования

$sin(7x) ctg(5x) = \dfrac{sin(7x)cos(5x)}{sin(5x)}$

Решаем, получаем произведение двух пределов

$\lim_{x\to0} \left( \dfrac{sin(7x)}{sin(5x)}\cdot cos(5x)\right) = \lim_{x\to0} \dfrac{sin(7x)}{sin(5x)}\cdot \lim_{x\to0} cos(5x)\\\\\\$

Рассмотрим первый, умножив числитель на $7\cdot5x$, и знаменатель на $5\cdot 7x$.

$\lim_{x\to0} \dfrac{sin(7x)\cdot7\cdot5x}{sin(5x)\cdot5\cdot7x} = \lim_{x\to0} \dfrac{7\cdot sin(7x)\cdot5x}{5\cdot7x\cdot sin(5x)} =\\\\\\= \lim_{x\to0} \left(\dfrac{7}{5}\cdot\dfrac{sin(7x)}{7x}\cdot\dfrac{5x}{sin(5x)}\right)= \dfrac{7}{5}\cdot1\cdot1^{-1} = \dfrac{7}{5}$

Рассмотрим второй

$\lim_{x\to0}cos(5x) = cos(\lim_{x\to0}5x)= cos(5\cdot\lim_{x\to0}x)= cos(5\cdot0)= 1$

Произведение пределов и будет ответом

$\dfrac{7}{5}\cdot 1 = \dfrac{7}{5}$