(1) (2) Прежде всего построим графики заданных функций. (См рис1.FIGURE.png) Далее. Найдем точки пересечения графиков. Из картинки видно, что точки пересечения (Обозначим их А0 и А2) имеют координаты А0(-1; 0) и А2(2; 3). Убедиться в этом можно, подставив уравнения (1) и (2) поочередно координаты точек и проверить, обращаются ли они в верные равенства. строго говоря, для нахождения координат точек пересечения в нашем случае решается система уравнений (1), (2): (1) (2) Два уравнения, два неизвестных.
Приравнивая правые части (1), (2) получаем одно уравнение с одним неизвестным: Приводим подобные слагаемые. (3) Решаем полученное уравнение (3) Соответствующие им значения y1, y2 можно найти, подставив например значения x1, x2 в уравнение (2) Вот мы и получили две точки А0(x1; y1), A2(x2, y2) Они нам понадобятся при простановке пределов интегрирования. Так теперь Разберемся, что получится, если нашу фигуру вращать вокруг оси OX. Смотрим риснуок 2 (FIGURE_OX.png), На котором изображено поперечное сечение, полученной фигуры вращения. Такая "чаша", со стенками переменной толщины. В сечении наша исходная фигура (параболический сегмент) зеркально отразилась относительно оси OX. Точки с координатами (x, y) отразились в точки (x, -y). Соответственно прямая y=x+1 отразилась в y=-x-1, а парабола в параболу . Объем "чаши" будет равен: (4) где объем фигуры ограниченной, параболами и плоскостью перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через прямую . ? , объем конуса ограниченного прямыми и той же плоскостью проходящей через
Если нашу "чашу" без выемки конуса "нашинковать" плоскостями перпендикулярными плоскости рисунка и при этом параллельными плоскости основания конуса, мы разбиваем ее на множество мелких ("блинов") элементарных цилиндров толщиной dx. Объем каждого такого цилиндра будет равен: Суммарный объем будет равен сумме объемов элементарных цилиндров. Переходя к пределу при dx⇒0 получаем: (5) (6) (7) С учетом (7) интеграл (6) равен: (8)
Аналогично объем конуса равен (9) Проделывая вычисления находим: (10) Тогда с учетом (4), (8), (10) искомый объем равен:
Вкратце по 2му пункту смотрите рисунок 3 (FIGURE_OY). Тут наша фигура получилась более "хитрая". Придется, дробить область на части
Сам объем будем искать в виде такой суммы: Объем усеченного "криволинейного конуса" (сечение А9, А1, А2, А8) - Объем конуса (А9, А0, А1) + объем ус. конуса(А2, А3, А5, А7) + объем "криволинейного конуса"(А3, А4, А6, А7) - объем "криволинейного конуса" (А5, А4, А6).
Черт возьми! >5000 символов не лезет. Но надеюсь, принцип ясен.
б) если рассмотреть равенство: x² + (y+1)² = 4
то график этого уравнения --это окружность с центром в (0; -1) радиуса 2.
уравнение окружности с центром (x₀; y₀) радиуса R: (х-х₀)² + (y-y₀)² = R²
в задании знак неравенства "больше", т.е. это часть плоскости ВНЕ круга, включая границу (окружность)
например: точка (2;-3)
2² + (-3+1)² ≥ 4 верно...
а) неравенство с модулем со знаком "меньше" равносильно двойному неравенству: -2 < y-x-1 < 2 (прибавим 1)
-1 < y-x < 3
двойное неравенство равносильно системе неравенств (пересечению промежутков):
{y-x<3
{y-x>-1
или
{ y < x+3 (часть плоскости НИЖЕ (знак "<") прямой у=х+3)
{ y > x-1 (часть плоскости ВЫШЕ (знак ">") прямой у=x-1)
это полоса между параллельными прямыми...
и всегда можно проверить...
например, точка (2;-1) не принадлежит этому множеству...
|-1-2-1| < 2 неверно
точка (0;0) принадлежит этому множеству...
|0-0-1| < 2 верно