Question

Решите уравнение на фото.​

Answer 1

ответ: х₁=-2; х₂=5

Объяснение:

выражение в левой части равенства -это неполный квадрат))

можно домножить обе части равенства до суммы кубов...

обозначим: а=∛(х+3); b=∛(6-x); из уравнения очевидно, что a+b≠0

получим:

a² + b² - ab = 3

домножим обе части равенства на (a+b)≠0...

(a² - ab + b²)*(a+b) = 3(a+b)

a³ + b³ = 3(a+b)

вернемся к переменной (х):

х+3 + 6-х = 3(∛(х+3) + ∛(6-х))

9 = 3(∛(х+3) + ∛(6-х))

3 = ∛(х+3) + ∛(6-х)

или (в ранее введенных обозначениях)

3 = a+b

дальше можно по-разному... можно выразить: a=3-b

а можно вернуться к исходному уравнению и выделить полный квадрат (причем, квадрат суммы)))...

a² + b² - ab +2ab-2ab = 3

a² +2ab + b² -3ab = 3

(a+b)² = 3 + 3ab

(3)² = 3 + 3ab

9 = 3*(1+ab)

3 = 1 + ab

ab = 2

∛(х+3) * ∛(6-x) = 2

(x+3)*(6-x) = 8

6x - x² + 18 - 3x = 8

x² - 3x - 10 = 0 по т.Виета два корня... (5) и (-2)

Answer 2

Предположим, что $x\geq 6$ является корнем уравнения. Тогда последний корень неотрицателен. Стало быть, левая часть не меньше $\sqrt[3]{(6+3)^2} =3^{4/3}3$, противоречие.

Пусть $x\leq -3$ является корнем уравнения. Получаем аналогичную ситуацию.

Значит, искомый корень лежит в $(-3,\;6)$(*).

Пусть $\sqrt[3]{(x+3)^2}=a, \; \sqrt[3]{(6-x)^2} = b$. Тогда уравнение можно переписать в виде $a+b-\sqrt{ab} = 3$. Домножим обе части на $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$, получим: $(\sqrt{a})^{3}+(\sqrt{b})^{3}=3(\sqrt{a}+\sqrt{b})$. Левая часть уравнения равна $|x+3|+|6-x|$. С учетом (*) можно записать $|x+3|+|6-x|=x+3+6-x=9$. Наконец, $\sqrt{a}+\sqrt{b}=3$. Исходное уравнение: $a+b-\sqrt{ab}=3$. Возводя в квадрат первое уравнение и складывая со вторым, умноженным на 2, получаем $3(a+b)=15 \Leftrightarrow a+b=5$. Если теперь возведенное в квадрат первое уравнение вычесть из второго, получим $\sqrt{ab}=2$. Из этой системы следует два решения: $(4,1),\; (1,4)$. Вернемся к исходному уравнению: $(x+3)^2=64,\; (6-x)^2=1$, откуда $x=5$. Второй случай: $(x+3)^2=1,\;(6-x)^2=64$, откуда $x=-2$.