Question

Определить количество стационарных точек функции y=2e3x-3e2x Сколько точек экстремума функции y=5x2+20x-3
Найти точки экстремума функции f(x) = X5/5-4/3 x3

Answer 1

Определение стационарных точек функции:

Стационарная точка функции - это точка на графике функции, где ее производная равна нулю или не существует. В других словах, это точка, где функция имеет экстремум (максимум или минимум) или точку перегиба. Для определения стационарных точек функции, нам нужно найти производную функции и приравнять ее к нулю, а затем решить полученное уравнение.

Первый вопрос: Определение стационарных точек функции y = 2e^3x - 3e^2x

1. Найдем производную функции y по x:
y' = d/dx (2e^3x - 3e^2x)

Для нахождения производной сложной функции, используем правило производной экспоненты:
d/dx(e^kx) = k * e^kx

Применяя это правило к нашей функции, получим:
y' = 2 * 3e^3x - 3 * 2e^2x
= 6e^3x - 6e^2x

2. Приравняем производную к нулю:
6e^3x - 6e^2x = 0

3. Решим полученное уравнение:
6e^3x = 6e^2x

e^3x = e^2x

Так как основание экспоненты e не равно нулю, то это уравнение выполняется только тогда, когда показатели степеней равны:
3x = 2x

x = 0

Таким образом, функция y = 2e^3x - 3e^2x имеет одну стационарную точку при x = 0.

Второй вопрос: Определение точек экстремума функции y = 5x^2 + 20x - 3

1. Найдем производную функции y по x:
y' = d/dx (5x^2 + 20x - 3)

Применяем правило производной степени и линейного слагаемого:
d/dx(x^n) = n * x^(n-1)
d/dx(c) = 0 (где c - константа)

Применяя это правило к нашей функции, получим:
y' = 10x + 20

2. Приравниваем производную к нулю и решим полученное уравнение:
10x + 20 = 0
10x = -20
x = -20/10
x = -2

Таким образом, функция y = 5x^2 + 20x - 3 имеет одну точку экстремума при x = -2.

Третий вопрос: Определение точек экстремума функции f(x) = x^5/5 - 4/3 x^3

1. Найдем производную функции f по x:
f'(x) = d/dx (x^5/5 - 4/3 x^3)

Применяем правило производной степени и степени сложной функции:
d/dx(x^n) = n * x^(n-1)
d/dx(g(x)^n) = n * g(x)^(n-1) * g'(x), где g(x) - сложная функция

Применяя эти правила к нашей функции, получим:
f'(x) = 5/5 * x^(5-1) - 4/3 * 3 * x^(3-1)
= x^4 - 4x^2

2. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
x^4 - 4x^2 = 0

Факторизуем это уравнение:
x^2 (x^2 - 4) = 0

Решаем полученное уравнение:
x^2 = 0 или x^2 - 4 = 0

Первое уравнение имеет решение x = 0.

Решим второе уравнение:
x^2 - 4 = 0
x^2 = 4
x = ±2

Таким образом, функция f(x) = x^5/5 - 4/3 x^3 имеет три точки экстремума: x = 0, x = 2 и x = -2.