1. Если n - чётное, то n(3n-1)+2 делится на 2. Если n - нечётное, то множитель (3n-1) чётный и всё выражение чётно.
2. Преобразуем выражение
Выражение n³+2n+3 раскладывается на множители. Для разложения надо найти корни уравнения n³+2n+3=0. Здесь срабатывает метод подбора - корнем уравнения является делитель свободного члена. Легко видеть, что подходит n = -1. Значит, один множитель будет (n+1), другой находим делением многочлена (n³+2n+3) на (n+1): n³+2n+3 = (n+1)(n²-n+3)
Продолжим преобразования:
Получаем три слагаемых. В первом слагаемом наблюдаем произведение трёх последовательных натуральных чисел, значит оно делится на три. Второе и третье слагаемые тоже делятся на три - это очевидно.
Итак, исходное выражение делится на 3 при любых натуральных числах.
Если n - чётное, то n(3n-1)+2 делится на 2.
Если n - нечётное, то множитель (3n-1) чётный и всё выражение чётно.
2. Преобразуем выражение
Выражение n³+2n+3 раскладывается на множители. Для разложения надо найти корни уравнения n³+2n+3=0. Здесь срабатывает метод подбора - корнем уравнения является делитель свободного члена. Легко видеть, что подходит n = -1. Значит, один множитель будет (n+1), другой находим делением многочлена (n³+2n+3) на (n+1):
n³+2n+3 = (n+1)(n²-n+3)
Продолжим преобразования:
Получаем три слагаемых. В первом слагаемом наблюдаем произведение трёх последовательных натуральных чисел, значит оно делится на три. Второе и третье слагаемые тоже делятся на три - это очевидно.
Итак, исходное выражение делится на 3 при любых натуральных числах.