1 шаг. Проверим справедливость утверждения при n=1:
- верно
2 шаг. Предположим, что при n=k следующее утверждение верно:
3 шаг. Докажем, что при n=k+1 следующее утверждение также будет верно:
Для доказательства выполним преобразования:
Рассмотрим получавшуюся сумму. Первое слагаемое 
делится на 9 по предположению, сделанному на предыдущем шаге. Во втором слагаемом 
первый множитель делится на 3. Значит, остается доказать, что второй множитель также делится на 3. Докажем это, используя арифметику остатков:
Мы получили, что выражение 
дает при делении на 3 такой остаток, как и число 3. Но число 3 кратно 3, значит и выражение кратно 3.
Возвращаясь к выражению 
, повторим, что первое слагаемое делится на 9, второе слагаемое представляет собой произведение двух множителей, каждое из которых делится на 3, то есть само слагаемое делится на 9. Сумма двух выражений, делящихся на 9, также делится на 9, или другими словами, кратна 9. Доказано.
2) Найти первые шесть членов арифметической прогрессии, если a1=5; d= -3.
a1+d=a2
а2 = -3 +5 = 2
а3 = -3 + 2 = -1
а4 = -3 + (-1) = -4
а5 = -3 + (-4) = -7
а6 = -3 + (-7) = -10
ответ: 5, 2, -1, -4, -7, -10.
3) Найти разность арифметической прогрессии, в которой a10=16; a18=24
Разность арифметической прогрессии – это разность двух ее последовательных членов:
d=an-(an-1)
d = 24-23=1
ответ: 1
4) Вычислить сумму девяти первых членов арифметической прогрессии, в которой a1=15; d = -4
а9=а1+d(n-1)
a9= 15 + (-4)*8= 47
S9=(a1+a9)/2 * n= (15+47)/2 * 9 = 279
или S9= (2*a1+ d(n-1))/2 * n
ответ: 279
5) Найдите двадцать пятый член арифметической прогрессии -3,-6
(an) - арифметическая прогрессия
a₁=-3; a₂=-6
d=a₂-a₁=-6-(-3)=-6+3=-3
a₂₅=a₁+24d
a₂₅=-3+24*(-3)=-3-72=-75
ответ: -75
64+8с³=(4+2с)(16-8с+4с²)